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课件网) 第7章 实数 7.4 勾股定理的逆定理 学习目标 探索并证明勾股定理的逆定理。 （重点） 能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形。 （难点） 1 2 1.在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？ 2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？ 答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 下列的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c： ①6，8，10； ②5，12，13；③7，24，25； 这三组数都满足a2+b2=c2吗？ 三组都满足 ①6，8，10； ②5，12，13； ③7，24，25； 也就是说：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形。 ▼几何语言： 在△ABC中 ，∵ a2+b2=c2, ∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°。 a A B C b c ∟ 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形。 满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。 常见的基本勾股数有 3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25； 9，40，41。 “勾股数”的任意正整数倍仍是勾股数。 例1 已知三角形三条边的长度分别是： (1)1，，；(2)2，3，4；(3)3 n，4 n，5n(n>0)， 它们是否分别构成直角三角形？ 解： (1)在1，，中，是最大边长， 因为+（=1+2=3=（， 所以，边长为1，，的三角形是直角三角形。 (2)在2，3，4中，4是最大边长，+=13≠， 所以，边长为2，3，4的三角形不是直角三角形。 （3）在3n，4n，5n(n>0)中，5n是最大边长， ， 所以，边长为3n，4n，5n (n>0)的三角形是直角三角形。 已知三角形的三边的长，判断三角形是否直角三角形时，由于直角三角形的最大边是斜边，所以只要检验较小的两条边的平方和是否等于最大边的平方就可以，如果等式成立，该三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形。 总结 1.以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有（ ） ① 3，4，5； ② 1，2，4； ③ 32，42，52； ④ 6，8，10 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2.三角形的三边分别是a，b，c，且满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 A 练一练 例2 如图，已知AB⊥AD,AB=4,BC=12,CD=13,AD＝3。能判断BC⊥BD吗？证明你的结论。 证明如下： ∵AB⊥AD，∴△BAD是直角三角形。 +=25。 在△BCD中， ∵+25=169=, ∴△BCD是直角三角形，且CD为斜边，∠CBD=90°。 ∴BC⊥BD。 A Ｄ C Ｂ 3 4 13 12 变式一 一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b）所示，这个零件合格吗？ A B C D A B C D 3 4 5 12 13 (a) (b) 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。 因此这个零件符合要求。 变式二 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。 解：连接BD，在Rt△ABD中， 由勾股定理，得BD=5cm。 又∵在三角形BDC中，三边长分别是5，12，13，满足勾股定理， ∴三角形BDC是直角三角形。 因此四边形ABCD的面积为36 1.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5，6，7 B.1，4，9 C.5，12，13 D.5，11，12 2.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是( ) A.42 B.52 C.7 D.52或7 3.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13， ∠B＝90°，木板的面积为( ) A.60 ... ...
