2022－2023中考专题之一证一求《与圆有关的证明与计算》（解析版+学生版）

中小学教育资源及组卷应用平台 【2023中考专题复习】 简单几何证明（一证一求）(解析版) 1．如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 解（1）证明：∵，， ∴是的中垂线， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ． 2．如图，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，D是上一点，过D作交的延长线于点E，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 解（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3．如图，D是以为直径的O上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F． (1)证明； (2)当，时，求的长． 解（1）证明：∵是⊙O的切线， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． 4．如图，在中，，，在上取一点D，使，在上取一点E，使，作的外接圆，连接． (1)求证：． (2)求证：是的切线． 解（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∵，∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 5．如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 解（1）证明：四边形为矩形， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形， ，即是等腰三角形， ， ． 6．如图，点D为上一点，为的直径，延长到点A，连接，，并过点B作，交于点F，交的延长线于点C，已知恰好为的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 解（1）证明：如图1，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 为的切线． （2）如图2，连接， ，，， ， 设，则， 是的切线， ， ， ，解得， ，， 为直径， ， ， ， ，即， ． 7．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点B是弧的中点，在线段的延长线上取一点E，使. (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 解（1）∵为的直径， ∴， ∴，即， ∵点B是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴为的切线； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，有， 又在中，有， ∴，即． 8．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点． (1)求证：； (2)，，，求阴影部分的面积． 解（1）证明：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置， ∴， ∴； （2）解：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 9．如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长度． 解（1）证明：在平行四边形中，， ∴． ∵分别是的平分线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：过点C作交于K，交于点I， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D， ∴． 10．如图，在中，，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，D是的中点， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及的长． 解（1）证明：如图，作，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 即是的平分线， ∵点O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∴可设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ... ...