15+32W10-5)30 ,点1是△ABC的内心 ∴EF= 000000000000000000000900000606000010分 .∠BA=∠IAC,∠ABI=∠IBC, 2 ②如图3-2中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H.作EG⊥BD于G,设FH=y, ·D=6c ∠BAE∠CBD…5分 则BF=2y,BH=√5y. ,'∠ABH∠BAF∠BID, ∠IBC+∠CBD=∠IBD ∴.∠BID=∠IBD BD=D引…7分 (3)解：因为0=Cc,所以点D为C的中点，故点D是一个定点 由(1)的结论BD=D1,可知，点1在以点D为圆心，BD长为半径的圆上运动， 图3-2 所以当点，0，D三点共线时，10取最小值.…8分 .EF//AD, 如图2所示，此时AD为⊙O的直径，且AD为BC的垂直平分线，∠CBD∠EAC∠BAE= 2 .∠ADH=∠EHD, ∠BACg，BC=6∴BE=CE=】BC-3 2 2 ∠ADB=∠BDC, .∠EDH=∠EHD 在Rt△BED中，DE-BE·tan∠CBD-BE·tang=3X3=2 2 44 :.ED=EH, DfBD=VDE2+BE2=l5…9分 4 EG⊥DH 在Rt△ABE中，AE= BE DG=6H3W5-5 tan ZBAE tan 3 2 ∴AD=DE+AE94=25 44 :an∠EDG= BC-EG-2, CD DG ∴0DAD=25 BG=35-5,Em:15- 2.8 2 放10的最小值-D0D15-25=5 …10分 15-5y.15-3y 488 ∴EnEH+FH=r 2 2 由)EH的面积=8HF的面积， (3)解：tan-5 .a=60 ∴.∠BAE=∠CAE 图2 )3 2 2×5-50a6-5)=含×2x 解得产5-√10（负根已经舍弃）， 分别连接OB,OD,记OD与BC相交于点M, Er15-36-o3W10 ”D=C,BC=6 2 2 综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为3回 :0oL8c,-C3.∠8002∠cAE60 .△B0D是等边三角形 2 24.(1)90°+。 同(2)可求得DM=√3， (2)解：如图1所示，连接B1, OB=OD=BD=23, ①AB=EB,如图3所示， 此时∠BEA=∠BAE=30 ∠CBD=∠CAE=30 ∴.∠CED=∠BEA=30 而∠CED=∠CBD+∠BDA-30°+∠BDA 矛盾，故此种情况不成立 ②AB=AE,如图4所示，过点E作EH⊥BD,交 BD于点H,过点A作AN1BC,交BC于点N, 此时∠BAE=30°，∠ABE=∠AEB=75,△ANE ∽△DME ∴.∠CBD=∠CAE=30°，∠CED=∠AEB=75 图3 ,∴.∠EDB=∠CED-∠CBD=45° 设DFX,则EH=x,BH√3X .BH+DH=BD=23 ∴.√5xx2V5,解得，x3-√3 ∴.BE=2EH6-2V5,DE=√2EH3V2-√6 EM-aM8E25-3,wE号8E35 ,△ANE∽△DME 图4 :NE-4E,即3-5 AE 解得，AE=2V6 EM DE 2W3-33v2-V6 AB=AE2V6…12分 ③BE=AE,如图5所示 此时∠EBA=∠BAE=30°， ,'△B0D是等边三角形，ODLBC ∴.∠EB0=30°=∠EBA ∴点A,O,B三点共线 ∴.AB为⊙0的直径 ,∴.∠ADB=90° .'.AB=2BD=43 综上所述，AB=2√6或4√5时，△ABE为等腰三角 形.…14分 图5
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