2023届河南省五市高三下学期第二次联考理科数学试题（扫描版含答案）

2023 年河南省五市高三第二次联考 数学（理科）参考答案 温馨提示：解答题解题方法不唯一。参考答案只给出了大致评分标准，阅卷老师请根据考生作答情 况酌情细化给分。 一、选择题：1.A 2.D 3．C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A 1 3 2 3 二、填空题：13. 2 14. 15. 16. 2 10 6 三、解答题： 1 1 1 17.证明：(1)由已知 2an 1 an 1an 1，得an 1 整理为： 1，2 an 1 an 1 1 an 1 1 为等差数列，公差 d 1，首项为 31 a ； ............4分 1 an 1 1 所以 3 n 1 n 2 n 1 *1 a ，整理为： an n N ，经检验，符合要求 ............6分n n 2 a n 1（2）由（1）得： n n N * ．Tn a1a a 2 ，n 2 2 n n 2 T 2 4 4 4 1 1 n 2 ， ............8分 (n 2) (n 2)(n 3) n 2 n 3 ， S 4(1 1即 n ). ............12分3 n 3 18. 解：（1）因为 BC∥AD，∠ADC＝90°，AB＝BC＝2DE，所以平面四边形 ABCD为直角梯形． 设 AB＝BC＝2DE＝4a，因为∠ABC＝120°．所以在 Rt△CDE中， CD 2 3a,EC 4a, tan ECD DE 3 , DC 3 所以∠ECD＝30°，又∠ADC＝∠BCD＝90°． 所以∠BCE＝60°，由 EC＝BC＝AB＝4a，所以△BCE为等边三角形． 又 F是 EC的中点，所以 BF⊥EC，又 BF⊥PC，EC，PC 平面 PEC， EC∩PC＝C，所以 BF⊥平面 PEC，而 BF 平面 ABCE， 故平面 PEC⊥平面 ABCE. ......................6分 高三数学（理科）参考答案 第 1页 （共 5页） 1 （2）在直角三角形 PEC中，PE＝DE＝PF＝ EC 2a，取 EF中点 O，所以 PO⊥EF． 2 由（1）可知平面 PEC⊥平面 ABCE，平面 PEC∩平面 ABCE＝EC． ∴PO⊥平面 ABCE，以 O为原点，OC 方向为 y轴建立如图所示的空间直角坐标系． ...........8分 则 P(0，0， 3 a)，A（2 3 a，-3a，0），B（2 3 a，a，0），C（0，3a，0）， 所以 PA (2 3a, 3a, 3a),PB (2 3a,a, 3a),PC (0,3a, 3a) ， m PA 0 2 3ax 3ay 3az 0 设平面 PAB的法向量m (x, y, z) ，∴ ，即 ， m PB 0 2 3ax ay 3az 0 令 x＝1得m (1,0,2)．设直线 PC与平面 PAB所成角为θ， sin | m P C | 2 3a 5则 ． |m || PC | 12 22 (3a)2 ( 3a)2 5 5 所以直线 PC与平面 PAB所成角的正弦值为 ． ......................12 分 5 1 1 1 2 19.解：（1）X 可能取值为 0，1，2，3，4，记甲答对某道题的概率为事件 A，则 P A ， 2 2 3 3 k 4 k 则 X ~ B 4, 2 ， P X 2 1 K C k 4 k 0,1,2,3,4 ， 3 3 3 则 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 1 8 8 32 16 P 81 81 27 81 81 则 E X 4 2 8 ......................6分 3 3 （2）记事件 Ai 为“甲答对了 i道题”，事件 Bi 为“乙答对了 i道题”，其中甲答对某道题的概率为 1 1 p 1 (1 1 1 p)，答错某道题的概率为1 (1 p) (1 p)， 2 2 2 2 2 则 P(A ) C1 1 1 1 2 1 2 1 21 2 (1 p) (1 p) (1 p )， P(A2 ) [ (1 p)] (1 p) ，2 2 2 2 4 2 P B 1 1 P B C1 3 1 30 ，4 16 1 2 ， 4 4 8 所以甲答对题数比乙多的概率为： P(A1B0 A2B0 A2B1) P(A1B0 ) P(A2B0 ) P(A2B1) 1 1 p2 1 1 1 p 2 1 1 3 5 7 9 3= 1 p 2 p2 p , 1= 解得 p 1， 2 16 4 16 4 8 64 32 64 16 5 高三数学（理科）参考答案 第 2页 （共 5页） 1 甲的亲友团助力的概率 P的最小值为 ． ...................... 12 分 5 20. 解：（1）设 N (4, y )，代入 x2 80 ＝2py，得 y0 ，p |MN | 8 | NF | p y p 8 p 8 5 8所以 ， ．由题设得 ， p 2 0 2 p 2 p 4 p 解得 p 2（舍去）或 p 2，∴C 2的方程为 x 4y． ......................4分 （2）由题知直线 l的斜率存在，设其方程为 y kx 6， y kx 6 2 由 2 消去 y整理得 x 4kx 24 0， x 4y 2 x x 4k显然Δ＝16k +96＞0．设 P（x 1 21，y1），Q（x2，y2），则 ， x1 x2 24 x2 x2 x 抛物线在点 P(x 11, )处的切线方程为 y 1 1 (x x )，4 ... ...