初中数学竞赛专项训练 （方 程） 一、选择题： 1、方程有两个整数根，试求整数a的值 （ ） A. -8 B. 8 C. 7 D. 9 2、方程的所有整数解的个数是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、若是一元二次方程的根，则判别式与平方式的大小关系是 （ ） A. △＞M B. △=M C. △＜M D. 不能确定 4、已知是一元二次方程的一个实数根，则ab的取值范围为 （ ） A. ab≥ B. ab≤ C. ab≥ D. ab≤ 5、已知、是方程的两个实根，则的最大值是 （ ） A. 19 B. 18 C. D. 以上答案都不对 6、已知为三个非负实数，且满足，，则u的最大值与最小值之和为 （ ） A. B. C. D. 7、若m、n都是正实数，方程和方程都有实数根，则m+n的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8、气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题 1、已知两个方程有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、若，则＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知关于x的方程的两根为整数，则整数n是＿＿＿＿＿ 4、设、是方程的两个实数根，且，则k的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5、已知a、b是方程的两个根，b、c是方程的两个根，则m＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6、设、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题 1、关于x的方程有有理根，求整数k的值。 2、设方程的较大根是，方程的较小根是，求－的值。 3、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程的两根均为质数，并求出此两根。 4、已知关于x的一元二次方程的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值。 5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时、、、千米，且满足＞＞＞＞0，其中，为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？ 参考答案 一、选择题 1、选B。原方程变为， 解得x=9或7，a＝8。 2、选C。原方程有整数解的条件有且只有以下3种： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 4、应选B。因为方程有实数解，故。由题意有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 5、选B。由方程有实根，得△≥0，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 6、选A。 由x≥0，y≥0得 即 7、选B。因方程有实根，故，因此有， 则，得m最小值是4。 又 8、选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b 天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9。 二、填空题 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 2、由已知a、b是方程的两根。，而 3、的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设 （k为非负整数），即满足上式的n、k只能是下列情况之一： 解得n＝1、5。 4、解：由题意得： 又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 由已知得 由①②得k＝1。 5、解：由已知b2-4b+m=0 ① b2-8b+5m=0 ② ①－②得：4b-4m=0 ∴b＝m ③ 将③代入①得：m2-4m+m=0 ∴m=0或m=3。 6、解： ∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴当a=时原式有最大值－ 三、解答题 1、解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。 ②当k≠0时，因方程有有理根，所以 ... ...
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