三角函数的最值(黑龙江省黑河市爱辉区)

课件19张PPT。 三角函数的最值 黑河五中 关晓岚1、掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值及取得最值的条件； 2、掌握给定区间上三角函数的最值的求法； 3、能运用三角恒等变换将复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题。基本要求例1、求函数f(x)= 的最大值 和最小值。 f(x)==∴y的最大值为 ， y的最小值为 。∵-1≤sin2x≤1 求三角函数的最值，主要是利用正弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：（1）y=asinx+b:设t=sinx化为一次函数y=at+b在闭区间t∈〔-1,1〕上的最值xoyY=kx+b一次函数：y=kx+b (1)定义域：R （2）定义域：〔x1,x2〕 值 域：R 值 域： 〔y1,y2〕x2在闭区间t∈〔-1,1〕上的最值.例2、求函数的 y=2cos( +x)+2cosx的值域。解：y=2cos cosx-2sin sinx+sin2x =3cosx- sinx =2 =例3、求函数 在区间上 的最值。解： 例4、求函数 的最大值和最小值。 化为y=sin(x+ Ф)+c求解方程. （3）y=asin2x+bsinx+c,设t=sinx化为二次函数y=at2+bt+c 　小结，利用三角函数的有界性求最值　　　　的目的在于将原函数转化为：y=Asin( 　)或y =Acos( 　） 的形式，再利用正、余弦的有界性。即　　　　　　　 或 一般在求解的过程中一定要注意以下两 种情况： （１）、在题设条件中没有限制x的取值范 围； 　例2、求函数y=sin2x+2cosx的最值。　　　 故：当 cosx=1时， ymax=2； cosx=-1时， ymin=-2； 解：y=1-cos2x+2cosx 　　 =-(cosx-1)2+2∵-1≤cosx≤1 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合运用，其解法主要是通过三角函数恒等变换，将函数关系式化成一个角的一种三角函数关系，然后借助于三角函数性质来解决。 在具体解答有关三角函数最值的题目时，还应注意正弦函数、余弦函数的有界性及函数定义域对值域的影响；注意利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法，以及利用重要不等式或利用数形结合和换元的方法来解答。二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(1)定义域： (2)定义域： 值 域：1、求函数f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。 分析：由于本题可以化为以sinx为自变量的二次函数，定义域为〔-1,1〕，应讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间〔-1,1〕的位置，才能确定其最值。 解：y= f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x) =2sin2x -4asinx+1(t-a)2 =2(sinx-a)2+1-2a2 2、求函数f(x)=cos2x+sinx在区间〔,〕上的最大值和最小值。 3、当 - ≤x≤ 时，函数f(x)=sinx+cosx的 A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 解： f(x)=sinx+ cosx=2（ sinx+ cosx） =2sin(x+ ) ∵- ≤x≤ ∴ - ≤x+ ≤ 求下列函数的值域： （1）y= （2）y=sinx+cosx+sinxcosx （3）y=2cos( +x)+2cosx （1）y= 解：y= = =2cos2x+2cosx=2(cosx+ )2_ 设t=cosx,则-1 ≤t<1, ∴y=f(t)=2(t+ )2_ 则函数的值域为〔- ，+4) （2） y=sinx+cosx+sinxcosx 解：令t= sinx+cosx ，则有 t2=1+2 sinxcosx,即sinxcosx= 故y=f(t)=t+ = (t+1)2-1 又t = sinx+cosx = sin(x+ ) ∴- ≤t≤ y=f(t)= (t+1)2-1( ≤t≤ ) 则函数的值域为〔-1， + 〕 ... ...