【精品解析】人教版初中数学几何辅助线进阶训练——正方形的辅助线（不含相似）

人教版初中数学几何辅助线进阶训练———正方形的辅助线（不含相似） 一、阶段一（较易） 1．（2023八下·青秀期中）感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连结ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F.易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF. （1）探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F.求证：EB=EF. （2）应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为　 　. 【答案】解：探究：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°.∴∠ACB=∠ACD=45°，又∵EC=EC，∴△EDC≌△EBC（SAS），∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，∵EF⊥ED，∴∠DEF=90°，∴∠EFC+∠EDC=180°又∵∠EBC+∠EBF=180°，∴∠EFB=∠EDC，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF；应用：连接DF，∵EF=DE，∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵DE=2，∴EF＝2，DF＝ ，∵∠DCB=90°，CD=1，∴CF=，∴四边形EFCD的面积=S△DEF+S△CDF= .故答案为. （1）解：探究： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°. ∴∠ACB=∠ACD=45°， 又∵EC=EC， ∴△EDC≌△EBC（SAS）， ∴ED=EB，∠EDC=∠EBC， ∵EF⊥ED， ∴∠DEF=90°， ∴∠EFC+∠EDC=180° 又∵∠EBC+∠EBF=180°， ∴∠EFB=∠EDC， ∴∠EBF=∠EFB， ∴EB=EF； （2） 【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【解答】解：应用：连接DF， ∵EF=DE，∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵DE=2， ∴EF＝2，DF＝ ， ∵∠DCB=90°，CD=1， ∴CF=， ∴四边形EFCD的面积=S△DEF+S△CDF= . 故答案为. 【分析】探究：根据正方形的性质可得AB=BC=CD=DA，∠ACB=∠ACD=45°，利用SAS证明△EDC≌△EBC，得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，由∠EFC+∠EDC=180° 结合邻补角的性质可得∠EFB=∠EDC，进而推出∠EBF=∠EFB，据此证明； 应用：连接DF，易得△DEF是等腰直角三角形，由勾股定理可得DF、CF的值，然后根据S四边形EFCD=S△DEF+S△CDF结合三角形的面积公式进行计算. 2．（2023八下·信阳期中）（1）【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？ （2）【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积. （3）【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积. 【答案】解：∵在正方形中，，∴，∴，∵，，∴，∵在正方形中，，∴；【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积.【答案】 （1）解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为E，F. ， . ， 四边形是平行四边形， . 又，， . （2）解：过点E作于点F，连接. 请将余下的求解步骤补充完整. 解： ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在正方形中，， ∴； （3） 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质 【解析】【解答】解：【拓展应用】 过程如下：如解图3，连接CE， ∵在正方形、正方形中， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，，， ∴. 【分析】（1）作AE⊥l2，DF⊥l2，则∠AEF=∠DFC=90°，推出AE∥DF，得到四边形AEFD为平行四边形，则AE=DF，然后根据三角形的面积公式进行解答； （2）过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，根据正方形的性质可得EF∥AD，则S△ADE=S△ADF，由等腰三角形的性质可得DF=CD，然后根据三角形的面积公式进行计算； （3）连接CE，根据正方形的性质可得∠BDC=∠FCG=45°，推出CF∥BD，则S△BDF=S△BDC，根据正方形的性质可得AD=BC=CD=4，∠BCD=90°，然后根据三角形的面积公式进行 ... ...