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课件网) 第12章 乘法公式与因式分解 青岛版 七年级下册 12 . 2 完全平方公式 观察与思考 一个正方形花坛的边长是a米，如果把它的每条边长都增加b米，所得到的新正方形花坛的面积便是 (a＋b)平方米. (1) 你用多项式的乘法法则计算(a＋b)吗 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a2＋ab＋ab＋b2 ＝a2 ＋2ab＋b2. 由此得到公式： (a＋b)2＝a2＋2ab ＋b2 你能利用右图中的面积关系说明这个公式吗 与同学交流. (2) 用(－b)代替上式中的b，得 (a－b)2＝ [a＋(－b)]2 ＝a2＋2a·(－b) ＋(－b)2 ＝a2－ 2ab＋b2 由此得到公式： (a－b)2＝a2－2ab ＋b2 这就是说，两数和(差)的平方等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍. 你能用一个几何图形的面积关系说明这个公式吗 这两个公式统称完全平方公式. 完全平方公式与平方差公式都叫做乘法公式. 例 1 利用完全平方公式计算： 例 2 利用完全平方公式计算： 练 习 1. 利用完全平方公式计算： ＝4a2＋20ab＋25b2 ＝1.44m2＋7.2mn＋9n2 ＝9x2－6xy＋y2 ＝16p2－16pq＋4q2 2. 利用完全平方公式计算： 3. 利用完全平方公式计算： (1) 542； (2) 9972. 例 3 可以把 (a＋2b)看做平方差公式中的a. 例 4 计算： (a＋b)3. 挑战自我 计算：152＝_____，252＝_____， 352＝_____，452＝_____. 225 625 2025 2025 设这个两位数的十位数是a，则这个两位数为10＋5，则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25，由此可知后两位数是25； 你发现个位数字是5的两位数的平方的末尾两位数有什么规律 未尾两个数都为25. 个位数字是5的三位数的平方的末尾两位数呢 你能利用完全平方公式，解释这个规律吗 设这个三位数的十位数是a，百位数是b，则这个三位数为100b＋10a＋5， 则 (100b＋10a＋5) ＝[100b＋(10a＋5)]2 ＝10000b2 ＋2×100b×(10a＋5)＋(10a＋5)2 ＝10000b2＋2000ab＋1000b＋100a2＋100a＋25， 由此可知后两位数是25. 广角镜 奇妙的“贾宪三角形” 我国北宋数学家贾宪 (11世纪人，生卒年代不详 )在 1050 年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形. 这个“三角形”有什么奇妙之处呢 (1)“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数······第n行有n个数. (2) 从第一行开始，每行中的 各个数字之和依次为： 20，21，22，23，24，··· 第n行中的数字之和是 2n－1. (3) 每行中的数字呈左右对称，由1开始由小变大，然后由大变小，最后回到1. (4)“三角形”两腰上的数字都是“1”. 除1之外，其余每个数字都是它“双肩” 上的两个数字之和，如2＝1＋1， 10＝4＋6，35＝15＋20. 不仅如此，这个“三角形”第n＋1行中的数竟与(a＋b)”(n是正整数)展开式各项的系数完全吻合. 例如，当n为2，3 时， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. 展开式中各项的系数 1，2，1；1，3，3，1恰为“三角形”中第3行和第4行的数类似地， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b3＋5ab4＋b5. 由以上四式，还可以猜测，(a＋b)n的展开式有以下特点：展开式的项数为n＋1.每一项的次数都是n，各项中a的指数由n逐项减少到0，b的指数由0逐项增加到n. (a＋b)n展开式中项数、系数和各项次数的规律，将在高中学习二项式定理时，予以证实. 按照上面所说的规律，你能写出 (a＋b)7 的展开式吗 练 习 1. 计算下列各题： 2. 先化简，再求值：(x＋y)2 －4xy，其中x＝12，y＝9. 习题 12.2 复习与巩固 1. 计算： 2. 利用乘法公式计算： (1) 912； (2) －1982 3.计算： (1) 3(2－y)2－4(y＋5)； (2) (m－n－1)·(m－n＋1). 4. 回答下列问题： (1) a＋b 加上什么式子可以得到 (a＋b)2 (2) a2＋ab＋b2 加上什么式子可以得到 (a－b)2 2ab ... ...
