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课件网) 第3章 对圆的进一步认识 3 . 3 圆周角 回顾旧知 请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？ 顶点在圆心的角叫圆心角. A B O 观察与思考 (1) 如图3-22，点A，B，C是⊙O上的三个点. 以A为端点作射线AB，AC，得到了一个怎样的角 (2) (1)中的∠BAC有什么特征 ∠BAC 的顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角 . (3) 圆周角与心角有什么不同 圆周角与圆心角的区别： ①顶点的位置不同：圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心； ②角的两边是圆的不同元素：圆周角的两边在圆内的部分都是圆的弦，圆心角的两边在圆内的部分都是圆的半径. (4) 观察图3-23 中的各角，其中哪些是圆周角 哪此是圆心角 ④中的∠A 是圆周角，⑤中的∠A，∠B，∠C 是圆周角，⑥中的∠A 是圆周角，④中的∠BOC 是圆心角，⑤中的∠AOB 是圆心角，⑥中的∠BOC，∠AOC，∠AOB 是圆心角. 实验与探究 任意画一个⊙O，在圆上任意取三个点A，B，C，连接AB，AC. (1) 圆心O与∠BAC有几种可能的位置关系 与同学交流. 圆心与同圆上的圆周角的位置关系有三种情况： 圆心在周角的一边上(图3-24①)， 圆心在圆周角的内部(图3-24②)， 圆心在周角的外部(图3-24 ③) (2) 在图3-24①中，AB是⊙O的直径，连接OC，你发现∠BOC与∠BAC有什么位置关系和数量关系 在图3-24①中∠BAC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，同时∠BOC又是等腰三角形AOC的外角.因此可以推出，此时∠BAC＝∠BOC. (3) 能将问题(2)中的结论推广到图 3-24②③吗 由此你猜想圆周角与它所对弧上的心角有怎样的数量关系 怎样证明你的结论 在图3-24②③中作出圆心角∠BOC及过A点的直径，可利用图3-24①中的结论，发现∠BAC与∠BOC之间有同样的关系. 已知：如图3-25，A，B，C是⊙O上的任意三点. 求证： ∠BAC＝∠BOC. 证明：(1) 当圆心O在∠BAC的一条边上时(图3-25①). 在△OAB中， ∵ OA＝OB， ∴ ∠BAO＝∠OBA. ∵∠BOC＝∠BAO＋∠OBA. ∴∠BOC＝2∠BAO. ∴∠BAC＝∠BOC. 加油站 对于②③两种情况，通过作直径AD，原来的圆周角就转化为圆心 O在其一边上的两个圆周角的和或差，利用(1)的结论，就能推出 (2)和(3)的结论. (2) 当圆心O在∠BAC的内部时，作直径AD(图3-25②). 由(1)的结论，得 ∠BAD＝ ∠BOD，∠DAC ＝ ∠DOC， ∴ ∠BAD＋∠DAC＝ ∠BOD＋ ∠DOC. ∵ ∠BAD ＋ ∠DAC ＝ ∠BAC， ∠BOD＋ ∠DOC ＝ (∠BOD＋∠DOC ) ＝ ∠BOC， ∴ ∠BAC ＝ ∠BOC. (3) 当圆心O在∠BAC的外部时(图3-25 ③)，你能给出证明吗 试一试，与同学交流. 归纳以上三种情况的结论，就得到 圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 因为圆心角与它所对弧的度数相等，因而由圆周角定理可以直接得到 推论1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 例 1 如图3-26，在⊙O中，∠AOB ＝110，点C在上求∠ACB的度数. 解：点C在AB的位置有两种情况： (1) 当点 C在劣弧 AB 上时(图3-26①)， ∵ ∠AOB ＝ 110°， ∴ 的度数 ＝110°. ∴ 的度数＝360°－110° ＝250° . ∴∠ACB ＝ × 250° ＝ 125°. (2) 当点C在优弧 上时(图3-26②)， ∵∠AOB＝ 110°， ∴∠ACB ＝ ∠AOB ＝ × 110°＝ 55°. 练 习 1. 如图，在⊙O中，∠AOB＝70°，OB⊥AC，垂足为点D，求∠OBC的度数. 2. 已知△ABC内接于O，AB＝AC，且的度数为130°，求∠A的度数. 观察与思考 (1) 如图3-27①，在⊙O中，∠C1，∠C2，∠C3；都是 所对的圆周角它们的大小有什么关系 由此你能得到什么结论 因为∠C1，∠C2，∠C3 的度数都等于 度数的一半，所以∠C1＝∠C2＝∠C3. 由此可得同弧上的圆周角相等. (2) 如图3-27②，在⊙O中，如果 ＝ ，那么它们所对的圆周角∠ACB ... ...
