(
课件网) 第4章 一元二次方程 4 . 5 一元二次方程根的判别式 学习目标 1. 理解什么是一元二次方程根的判别式； 2. 会熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 实验与探究 (1) 你会解方程 x2＋2x＋5＝0 吗 试一试. 因为 22－4×1×5＜0， 所以无法用公式法解这个方程. 配方，得 (x＋1)2＝－4. 因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根. (2) 由4.3 节我们知道，当 b2－4ac ≥0 时，一元二次 方程 ax2＋bx＋c＝0 ① 可以利用求根公式 x ＝ 求出它的根. 你发现当 b2－4ac＞0与 b2－4ac ＝0 时，方程的两个根分别具有什么特征 当 b2－4ac＞0 时，由于是正数，－ 是负数，所以 x ＝是两个不相等的实数. 因此，方程①有两个不相等的实根： x1＝ ，x2＝ . 如果 b2 － 4ac ＝ 0，那么 ＝ 0，这时方程① 有两个相等的实根： x1＝ x2＝ － . 如果 b2－4ac＜0，将方程①配方后，得 (x＋ )2 ＝. 方程的右边由于分母 4a2＞0，所以 ＜ 0，而(x＋ )2不可能是负数，这时方程①没有实根. 由此可见，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于个含有该方程各项系数的代数式 b2－4ac 的值的符号，因而把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0的根的判别式，通常用 表示，即 ＝b2－4ac. 符号“ ”是希腊字母，读作“delta”. 小资料 把上面讨论所得到的结论加以归纳，就得到 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 当 ＞0时有两个不相等的实根； 当 ＝0时有两个相等的实根； 当 ＜0时没有实根. 上面结论的逆命题也是正确的.你能说出它的逆命题吗 例 1 不解方程，判断下列方程根的情况： (1) 2x2 ＋ x－4＝0； (2) 4y2＋9 ＝12y； (3) 5(t2＋1)－6t＝0. 如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实根，那么 ＞0； 如果有两个相等的实根，那么 ＝0； 如果没有实根，那么 ＜ 0. (1) 2x2 ＋ x－4＝0； 解：这里 a＝2，b＝1，c＝－4. ∵ ＝b2－4ac ＝12－4×2×(－4) ＝33＞0， ∴ 方程有两个不相等的实根 (2) 4y2＋9 ＝12y； 解：把原方程化为一般形式，得 4y2－12y＋9＝0. 这里 a＝4，b＝－12，c＝9. ∵ ＝b2－4ac ＝ (－12 )2－4×4×9＝0. ∴ 原方程有两个相等的实根. (3) 5(t2＋1)－6t＝0. 解：把原方程化为一般形式，得 5t2－6t＋5＝0. 这里 a＝5，b＝－6，c＝5. ∵ ＝b2－4ac ＝ (－6)2－4×5×5＝－64 ＜0. ∴ 原方程没有实根. 例 2 已知关于x的一元二次方程 kx2－3x＋1＝0 有两个不相等的实根. (1) 求的取值范围； (2) 选择一个的正整数值，并求出方程的根. kx2－3x＋1＝0 (1) 求k的取值范围； 解：∵关于x的一元二次方程 kx2－3x＋1＝0 有两个不相等的实根， ∴ ＝ (－3)2－4k＞0， 即 9－4k＞0. 解不等式，得k＜. ∵ kx2－3x＋1＝0是一元二次方程. ∴ k≠0. 故 k 的取值范围是 k＜ 且 k≠0. (2) 选择一个的正整数值，并求出方程的根. kx2－3x＋1＝0 解：取不等式 k ＜ 的一个正整数解 k ＝ 2，则方程为 2x2 － 3x ＋ 1 ＝ 0. 解这个方程，得 x1＝1，x2＝ . 挑战自我 有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程 x2－12x＋k＝0 的两根. 求k的值. 当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实根， ＝0， 即(－12)2－4k＝0， 解得k＝36， 此时方程为 x2－12x＋36＝0， 解得 x1＝x2＝6， 长为 3，6，6 的线段能组成等腰二角形. 当3为等腰三角形的腰长时， 则x＝3 是方程x2－12x＋k＝0 的根， 把x＝3代入 x2－12x＋k＝0，得 9－36＋k＝0， 解得 k ＝ 27， 所以方程为 x2－12x＋k＝0， 解得 x1＝3，x2＝ 9. ∵ 3 ＋ 3 ＜ 9， ∴长为 3，3，9 的线段不能组成三角形， ∴ k ＝ 27 不符合要求. 综 ... ...
