(
课件网) 第4章 一元二次方程 4 . 7 一元二次方程的应用 学习目标 1. 使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体 积方面的应用问题． 2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分 析问题解决问题的能力，培养用数学的意识． 交流与发现 与我们学过的一元一次方程、二元一次方程组和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实生活与生产中数量关系的有效模型. 例 1 将一根长为 64 cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形(图4－2)，如果两个正方形的面积的和等于160 cm2，求两个正方形的边长. 首先要找出问题中的已知量、未知量和等量关系，把其中的一个未知量用x表示，根据等量关系，列出方程. 解：设其中一个正方形的边长为 x cm，那么该正方形的周长为 4x cm ，另一个正方形的边长为即(16－x)cm. 根据题意，得 x2＋(16－x)2 ＝ 160. 整理，得 x2 － 16x ＋ 48 ＝ 0. 解这个方程，得 x1 ＝ 12，x2 ＝ 4. 当 x1 ＝ 12时，16 － x ＝ 4； 当 x2 ＝ 4 时，16 － x ＝ 12； 经检验，当两个正方形的边长分别是 12 cm 和4cm 时，两个正方形的周长之和为64 cm，面积之和为160 cm. 这就是说，x＝12 cm 或 x＝4cm 均符合题意. 所以，两个正方形的边长分别为4 cm和12 cm. 列一元二次方程解应用题时，必须检验方程的 根是否符合题意，以决定取舍. 例 2 某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关. 当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元. 以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元. 要使每盆的盈利达到 10元，每盆应当种植该种花卉多少棵 解：设每盆增加种植x棵，则每盆种花 (3＋x)棵，平均每棵盈利为(3－0.5x) 元. 根据题意，得(3－0.5x)(3＋x) ＝10. 整理，得 x2－3x＋2＝0. 解这个方程，得 x1＝1，x2＝2. 经检验，x1＝1或x2＝2 均符合题意所以，每盆应种植该种花卉4棵或 5棵. 圆中正方形 我国古代数学家经常用诗歌的形式编写数学题，称为诗题. 清代数学家梅 (jue)成(1681－1763 ) 对明代数学家程大位的《算法统宗》进行修改补充，编著了《增删算法统宗》一书. 在该书第11卷的众多诗题中，有一首“圆中正方形”： 智趣园 今有圆田一块，中间有个方池. 量田特待耕犁，恰好三分在记. 池面至周有数，每边三步无疑. 内方圆径若有知，堪作算中第一. 大意是：有一块圆形的田地，中间有一个正方形水池.量得水池外圆内田地的面积，恰好是 3 分. 从水池的每条边到圆周，最远都是 3 步 (图4－3 ).如果你能求出正方形的边长和圆的直径，那么你的运算能力就数第一了. 本题可以通过列一元二次方程解决. 设正方形的边长为x步，则圆的半径为(＋3)步. 在古代，一般取 π≈3.于是，水池外圆内田地的面积为 3(＋3)2－x2 ＝ 3×24. 整理，得 x2－36x＋180 ＝ 0 练 习 1. 天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室. 要求长宽的比为 3∶1. 在温室内，沿前后两侧内墙各留 3 m 宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留 1 m 宽的通道当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是 300 m2 解：设矩形温室的宽是 x m，则长是 3x m. 根据题意，得(3x－6)(x－2) ＝300. 整理，得 x2－4x－96＝0. 解得 x1＝12，x2＝－8. 由题意，知 x2＝－8 不符合题意，舍去. 所以 x＝12，3x＝3×12＝36. 所以矩形温室的长是36 m，宽是12m时，蔬菜种植区的面积是 300m2. 2. 如图，矩形ABCD的边AB ＝200 cm，O为AB的中点. OE⊥AB交CD于点E. 质点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动； 另一质点Q同时从点O出发，以 3cm/s的速度沿 OE 向点E运动. 经过多少秒时，△POQ 的面积为 1800 cm2 解：设经过 t s 时，△POQ的面积为 1800 cm2. 根据题意，得 (100－2t) ×3t ... ...
