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课件网) 第19章 四边形 义务教育沪科版数学八年级下册 19 . 3 矩形、菱形、正方形 19 . 3 . 1 矩 形 情景导入 电脑、电视机的显示屏是什么形状 本书的封面是什么形状 思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？ 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察. 长方形 (也叫矩形) 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是矩形. 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 观 察 画一个矩形，度量一下它的四条边长、两条对角线长以及四个角的度数，你能从中得出矩形特有的性质吗 矩形有如下性质： 矩形的四个角都是直角. 性质1 下面给出证明. 已知：矩形ABCD. A B C D 求证：∠A ＝∠B＝∠C＝∠D ＝90°. 证明 由定义，矩形必有一个角是直角，设 ∠A ＝90°. ∵ AB∥DC、AD∥BC， ∴ ∠B ＝ ∠C ＝ ∠D ＝ 90° (两直线平行，同旁内角互补) 即矩形ABCD的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 性质2 你能给出性质2 的证明吗 对于任一个直角三角形 ABC (其中 ∠ABC ＝90°)，构造一个长为AB 和宽为 BC 的矩形ABCD设矩形对角线AC和BD交于点O，则AO＝OC＝BO＝OD＝ AC ＝ BD. A B C D O A B C D O 由此，可以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论 例 题 例1 如图 19－31，已知：矩形 ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB ＝120°，AD ＝4cm. 求矩形对角线的长. 120° 4 120° 4 解 因为四边形ABCD是矩形，所以 AC ＝ BD. ∴ AC ＝ BD. ∵ ∠AOB ＝ 120°. ∴ ∠OAB ＝∠OBA ＝＝30°. 在Rt△ABD中，有 BD ＝ 2AD ＝ 2 × 4 ＝ 8 (cm). 练 习 1. 证明矩形的性质 2. 解：已知：如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线. 求证：AC ＝ BD. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD ＝ BC， ∠DAB ＝ ∠CBA ＝90° 又∵ AB＝BA， ∴ △ABD≌△BAC. ∴ BD＝AC. 2. 已知矩形的一条对角线长8 cm，两条对角线的夹角为 60°，矩形相邻两边的长各为多少 矩形的两条对角线的夹角为：∠1＝60°， ∵ 四边形ABCD是矩形. ∴ OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD. ∴ OA ＝ OB. ∴ △AOB为等边三角形， ∴ AB＝AO＝AC＝4cm， 在直角△ABC中，AC＝8cm，AB＝4cm. BC＝82 －42＝4 (cm)， 即矩形的长为4cm，宽为4cm. 3. 已知直角三角形一条直角边长为3 cm，斜边上的中线 长2.5 cm，求另一条直角边长. ∵ 直角三角形斜边上的中线长为2.5cm， ∴ 直角三角形斜边为5cm， 又∵直角三角形一条直角边长为3cm， ∴ 另一条直角边的长＝ ＝4 (cm)。 交 流 如图19－32，工人师傅在做门窗框架、桌面等包含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你能说出其中的道理吗 例 题 例2 已知：如图19－33，在 ABCD中AC ＝BD . 求证： ABCD 是矩形. 证明 因为四边形ABCD是平行四边形所以 AD ＝BC . 又∵ DC ＝ CD，AC ＝ BD， ∴ △ADC ≌ △BCD . ∴ ∠ADC ＝ ∠ BCD . 又∵ ∠ADC ＋∠BCD＝180° ， ∴ ∠ADC ＝ ∠BCD ＝ 90° . 所以 ABCD为矩形. 由此，我们得到矩形的判定方法： 定理1 对角线相等的平行四边形是矩形. 例3 已知：如图19－34，在△ABC 中，AB ＝AC点D是AC 的中点,直线 AE ∥ BC，过点 D作直线 EF ∥ AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形AECF 是矩形. 例 题 证明：∵ AE∥BC ∴ ∠1 ＝ ∠2. 在△ADE和△CDF 中， ∴ ∠1 ＝∠ ... ...
