【培优复习】2023年中考数学热门专题：圆的相关问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2023年中考数学培优复习热门专题：圆的相关问题 关于面积比及线段比 1．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB． （1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数； （2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：＝2k； （3）如图3，若＜k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2． 2．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合），△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G． （1）求证：∠ECG＝∠BDC； （2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中． ①若BF＝2时，求CE的长； ②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长． （3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P，若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出的值． 3．如图1，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，点D在上，连结CD，点E为DA延长线上一点，连结CE交⊙O于点F，满足＝2，连结AF． （1）求证：CE⊥DE； （2）当，且∠DCB＝50°时，求的值； （3）如图2，连结DF交AC于点G，若DF＝30，⊙O的半径为25， ①求BC的长； ②当DF∥BC时，直接写出△AGF与△AEC的面积之比． 4．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C作CE⊥AD于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点； （3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值． 5．如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG． （1）若AE＝EG，求证：△ABE≌△GBE． （2）若AB＝2，tan∠EBF＝． ①求DE的长． ②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长． （3）连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED＝EG，求的值． 6．如图①，AB为⊙O的直径，弦CD交AO于E（点E不与点A，O重合），连结BD，BC． （1）求证：∠C+∠ABD＝90°； （2）如图②，若∠ABC＝2∠ABD，求证：CB＝BE； （3）在（2）的条件下． ①如图②，若，求sin∠ABD的值； ②如图③，连结DA并延长与BC的延长线交于点F，设，△ACF与四边形ACBD的面积之比为y，求y关于x的函数表达式． 7．如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E． （1）求证：△CMA∽△CBD． （2）若MN＝10，＝，求BC的长． （3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值． 8．如图1所示，⊙O内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为E，F为AD的中点，BA＝BD． （1）过点B作直线MN，若∠DBN＝∠BCA，求证：直线MN为⊙O的切线； （2）若EC＝3，＝，求⊙O的直径； （3）如图2所示，连接BF．若sin∠DBC＝，求． 9．在⊙O中，弦CD平分圆周角∠ACB，连接AB，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tan∠CAB＝，且B是CE的中点，⊙O的直径是，求DE的长． （3）P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP，过点D作DH⊥BP于点H，请探究点P在运动的过程中， 的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值． 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结AD，已知AE＝CD，BE＝2． （1）求⊙O的半径长； （2）若点G是AF的中点，连结DG，求AG的长； （3）在（2）的条件下，连结GC，求△CDG与△ADG的面积之比． 试题解析 1． ... ...