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课件网) 专题四 动点与几何图形问题 第二篇 专题突破 专题分析 动点与三角形、四边形、圆等基本图形的动态问题是中考中的难点，解决此类问题需要综合应用平面图形的基本性质.解决问题的思想方法有方程思想、转化思想、数形结合思想等. 典例精选 例1 （2022·广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E，F分别为边AD，DC的中点，则PE＋PF的最小值是（ ） A.2 C.1.5 考点：轴对称的性质———最短路线问题；菱形的性质；平行四边形的判定与性质. 分析：取AB中点G，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE＝PG，则当G，P，F三点共线时，PE＋PF＝PG＋PF，此时PE＋PF的值最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG＝AD. 点评：本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键. 例2 （2022·绥化）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，若AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x＜5，则下列结论中，正确的个数为（ ） ②当AP＝4时，△ABP∽△DPC； A.0 B.1 C.2 D.3 考点：动点与相似三角形、锐角三角函数等几何图形相关的综合题. 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键. 例3 （2022·吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动.以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC－CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上.设点P的运动时间为xs，菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为ycm2. （1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 cm.（用含x的代数式表示） （2）当点M落在边BC上时，求x的值. （3）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. 考点：动点与函数、几何图形相结合的综合应用；分类讨论的数学思想. 分析：（1）先证明∠A＝∠AQP＝30°，即AP＝PQ，根据题意有AP＝2x，即PQ＝2x；（2）当点M在BC上时，点Q在AC上，在（1）中已求得AP＝PQ＝2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN＝MN，根据AB＝6x＝6，求得x＝1；（3）分类讨论：当0＜x≤1时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过点Q作QG⊥AB于点G，求出菱形的面积即可； 解答：解：（1）当点Q在AC上时，∵∠A＝30°，∠APQ＝120°，∴∠AQP＝30°，∴∠A＝∠AQP，∴AP＝PQ.∵运动速度为2cm/s，运动时间为xs，∴AP＝2x，∴PQ＝2x.故答案为2x. （2）当点M落在BC上时，Q点在AC上，在（1）中已求得AP＝PQ＝2x.∵四边形PQMN是菱形，∴PQ＝PN＝MN＝2x，PQ∥MN.∵∠APQ＝120°，∴∠QPB＝60°.∵PQ∥MN，∴∠MNB＝∠QPB＝60°.∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△MNB是等边三角形，∴BN＝MN，∴AB＝AP＋PN＋BN＝2x×3＝6x＝6，∴x＝1. （3）当点P运动到点B时，用时6÷2＝3（s），即x的取值范围为 0≤x≤3，当点M刚好在BC上时，在（2）中已求得此时x＝1，分情况讨论，即当 0≤x≤1时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的 面积即是菱形PQMN的面积，过点Q作QG⊥AB于点G，如图①，∵∠APQ＝ 120°， ∴∠QPN＝60°，即菱形PQMN的内角∠QPN＝∠QMN＝60°， 于点G.设QM交BC于点F，MN交BC于点E，过点M作MH⊥EF于点H， 如图②，∵PQ∥MN，∴∠MNB＝∠QPN＝60°.∵∠B＝60°， ∴△ENB是等边三角形，同理可证明△MEF是等边三角形，∴BN＝NE， ∠MEF＝60°，ME＝EF. ... ...
