中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 勾股定理 高频考点（12个）（精讲） 高频考点1. 勾股树与面积问题再探究 【解题技巧】 解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题. 例1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示． ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，，∴． 观察，发现规律：，，，S，…， ∴．当时，，故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 变式1．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】连接AC，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】如图所示，连接， 在中， 即；同理，在中， 即则 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可． 变式2．（2022·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式表示出，整理解得得出答案． 【详解】解：∵为直角三角形，斜边，∴， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容． 变式3．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出AC2+BC2=AB2,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵ ∴AC2+BC2=AB2=3 ∴S阴影=AC2+BC2+AB2=（AC2+BC2）+AB2=AB2+AB2=AB2=3．故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理成为解答本题的关键． 高频考点2. 赵爽弦图相关问题 【解题技巧】解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题. 例2．（2022·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3， ∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG DG＝GF2+2CG DG，S2＝GF2， S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG NF， ∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2是解决问题的关键． 变式1．（2022·湖北八年级期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ） A．1 B．3 C．4﹣2 D．4＋2 ... ...
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