【中考数学几何模型】第二十八节：圆的计算证明辅助线压轴题486--491（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 中考数学几何模型 第二十八节：圆的计算证明辅助线压轴题 486.菱形圆三角形相似综合题(初三) 如图,菱形中,是对角线上一点,垂足为,以为半径的分别交于点,交的延长线于点与交于点. (1)求证:是的切线; (2)若是的中点,.(1)求弧的长;(2)求的长. 487.圆和三角形相似动点求的取值范围(初三) 如图,点为以为直径的半圆的圆心,点在直径上,点在弧上,四边形为正方形,点在弧上运动(点与点不重合),连接并延长交的延长线于点,连接交于点,连接. (1)求的值; (2)求的值; (3)令,直径是常数),求关于的函数解析式,并指明自变量的取值范围. 488.圆和三角形相似综合考题(初三) 如图所示,是的直径,点是上不同的两点,直线交线段于点、交过点的直线于点,若,且. (1)求证:直线是的切线; (2)连接,若. ①求证:; ②过点作,交线段于点,点为线段的中点,若,求线段的长度. 489.四点共圆求阴影部分的面积(初三) 如图1,四边形内接于为直径,点作于点,连接. (1)求证:; (2)若是的切线,,连接,如图2. ①请判断四边形的形状,并说明理由; ②当时,求与弧围成阴影部分的面积. 图1图2 490.圆与菱形相切三角函数综合考题(初三) 如图,是半径为3的的一条弦,,点是上的一个动点(不与点重合),以为顶点作. (1)如图2,若点是劣弧的中点. ①求证:是菱形;②求的面积. (2)若点运动到优弧上,且有一边与相切. ①求的长;②直接写出对角线所夹锐角的正切值. 图1图2备用图 491.平面直角坐标系中圆与三角形相似综合题(初三) 如图,在平面直角坐标系中,经过原点,分别交轴、轴于点,,连结.直线分别交于点(点在左侧),交轴于点,连结. (1)求的半径和直线的函数表达式; (2)求点的坐标; (3)点在线段上,连结.当与的一个内角相等时,求所有满足条件的的长. 答案 486.【解】(1)证明:如图1，过点作于点是菱形的对角线， 是的切线. 图1图2 (2)是的中点 由弧长公式得到HE弧的长:. (2)如图2，过作于点 . 487.【解】(1)如图1，连接. 四边形是正方形 设则 . 图1 (2)由(1)可知 . (3) 是直径 当点与重合时 图2 图3 如图2，当与点重合时 如图3，当与点重合时. 488.(1)证明: 直线是的切线. (2)①证明: . ②【解】 是的中点 即线段的长度为1. 489.(1)证明:四边形是的内接四边形， 为的直径 ； (2)(1)四边形是菱形，理由: 是的切线 由(1)知 四边形是平行四边形 是菱形； (2)由(1)知，四边形是菱形， 由(1)知 在Rt中 与弧围成阴影部分的面积为: . 490.(1)①证明: 四边形是平行四边形， 四边形是菱形. ②【解】如图1，连接交于连接. 四边形是菱形， 共线， 在Rt中 四边形是菱形 . 图1 图2 (2)①【解】分两种情况讨论: 第1种情况，如图2，当与相切时，连接交 于连接延长交于 是的切线 四边形是平行四边形 第2种情况，如图3，当与相切时， 同法可证. 综上所述的长为或. 图3 图4 ②【解】如图4，过点作于. 如图3中，同法可得 对角线所夹锐角的正切值为 综上所述对角线所夹锐角的正切值为 491.【解】(1)为的直径， 点是的中点，则点 则圆的半径为 设直线的表达式为则 解得故直线的表达式为； (2)设点的坐标为 由得: 解得或-3， 故点的坐标分别为； (3)过点作于点则故 由点的坐标，同理可得； 由点的坐标得， 同理可得: ①当时， 则为等腰直角三角形 故点的坐标为故； ②时 即解得故； 时 即 解得则 综上所述为5或10或. 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...