【中考数学几何模型】第二十七节：二次函数线段和周长最值问题468-471（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 中考数学几何模型 第二十七节:二次函数线段和周长最值问题 468.二次函数三角形周长最小值(初三) 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离始终相等,如图,点的坐标为是抛物线上一个动点,则周长的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 469.二次函数线段最大值(初三) 如图,二次函数的图象过三点. (1)求二次函数的解析式; (2)若线段的垂直平分线与轴交于点,与二次函数的图象在轴上方的部分相交于点,求直线CD的解析式; (3)在直线下方的二次函数的图象上有一动点,过点作轴,交直线于,当线段的长最大时,求点的坐标. 470.二次函数三角形周长最小值(初三) 如图,抛物线的顶点为,与轴交于点,点为其对称轴上的一个定点. (1)求这条抛物线的函数解析式; (2)已知直线1是过点且垂直于轴的定直线,若抛物线上的任意一点到直线1的距离为,求证:; (3)已知坐标平面内的点,请在抛物线上找一点,使的周长最小,并求此时周长的最小值及点的坐标. 471.二次函数三角形相似造桥选址周长最小值问题(初三) 如图,已知二次函数的图象与轴交于和两点,与轴交于,-3),对称轴为直线,直线经过点,且与轴交于点,与抛物线交于点,与对称轴交于点. (1)求抛物线的解析式和的值; (2)在轴上是否存在点,使得以为顶点的三角形与相似,若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由; (3)直线上有两点(在的左侧),且,若将线段在直线上平移,当它移动到某一位置时,四边形MEFN的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号). 答案 468.【解】周长, , 由两点距离公式可得:,为定值 只有当取最小值时,周长最小. ,当三点共线,且垂直轴时,有最小值,过点作轴于点是FP+MP的最小值,, 周长的最小值.故选:. 469.【解】(1)将点的坐标代入抛物线表达式得 ,解得 故抛物线的表达式为:; (2)由点的坐标知,直线的倾斜角为,即, 则, ,则与轴的夹角为,故设的表达式为:, 而中点的坐标为,将该点坐标代入表达式并解得:, 故直线的表达式为:; (3)设点,则点, 则 ,故有最大值,此时点的坐标为. 470.(1)【解】由题意抛物线的顶点, 可以假设抛物线的解析式为, 抛物线经过 抛物线的解析式为. (2)证明:如图1,过点作于. , , , , , ,, . (3)如图2,过点作直线于,过点作直线 的周长, 是定值, 的值最小时,的周长最小, 由(2)可知, 根据垂线段最短可知,当共线时,的值最小, 此时点与重合,点在线段上, 的最小值,即为的值等于6, 的周长的最小值为,此时. 471.【解】(1)抛物线的对称轴,与轴的交点为, 设抛物线的解析式为, 把代入得到,, 抛物线的解析式为. 直线经过点, . (2)如图1中,存在两种情况:直线的解析式为, 直线交轴于,与抛物线交于点, ,由,解得: 即点,或, ①.过点作轴于. , . ②.过点作交轴于,同法可证, , ,14.5) 综上所述,满足条件的点的坐标为或, (3)为定点,线段的长为定值,又, 当的和最小时,四边形的周长最小, 如图2中,画出直线,将点向左平移2个单位得到， 作点关于直线的对称点,连接与直线交于点, 过点作交直线于点,由作图可知, ,三点共线,, 此时的值最小, 点为直线与的交点, , , 如图,延长交线段于, 直线, ,在Rt中, , 同理,在Rt中,, 四边形的周长的最小值 . 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...