中小学教育资源及组卷应用平台 专题08 （特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题（精练） 一、选择题 1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点，， 又，，，是等边三角形， ，， ，即，故①正确； 在平行四边形中，，，，， 在和中，，， ，四边形是平行四边形， 又，点为的中点，， 平行四边形是菱形，故③正确；，在中，， ，故②正确；在平行四边形中，， 又点为的中点，，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 2．（2022八上·江阴期中）如图，△ABC中，BC＝4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且BD=DE，F是线段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（ ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 【答案】B 【解析】解：过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图： ∵BD=DE，EF=FC，∴BG=GE，EH=HC， 当DF⊥FH时，DF取得最小值，此时，四边形DGHF为矩形， ∴DF=GH= BE+ EC= BC=2.故答案为：B. 3．（2022八上·德阳月考）如图所示,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则最小值为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】解： 设BE与AC交于点P'，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B， ∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=4， ∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=4，∴ PD+PE的最小值为4.故答案为：C. 【分析】由于点B与D关于AC对称，连接BE，与AC的交点即为P点，此时PD+PE=BE最小，根据正方形ABCD的面积为16，得出AB=4，根据等边△ABE的性质得出BE=AB，即可得出答案. 4．（2022八下·鄞州期末）如图，在正方形 中，点P在对角线 上， ， ，E，F分别为垂足，连结 ， ，则下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若正方形边长为4，则 的最小值为2，其中正确的命题是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】解：∵四边形 是正方形， ， ， ∴ ， ∴四边形PECF是矩形， 连接CP，如图所示： ∴ ， ∵DP=DP，∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∵ ，∴ ，故①正确； 当 时，连接AC，如图所示： ∴点P为BD的中点，∴点A、P、C三点共线， ∴ ，∴△PEC是等腰直角三角形， ∴四边形PECF是正方形，∴EF⊥PC，∴ ，故②正确； 要使EF为最小，即为CP最小，故当CP⊥BD时最小，∴△BPC是等腰直角三角形， ∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ 的最小值为 ，故③错误；故答案为：A. 【分析】易得四边形PECF是矩形，连接CP，证明△ADP≌△CDP，然后由全等三角形的性质可得EF的值，据此判断①；当AP⊥BD时，连接AC，则点A、P、C三点共线，推出四边形PECF是正方形，则EF⊥PC，据此可判断②；要使EF为最小，即为CP最小，故当CP⊥BD时最小，根据等腰直角三角形的性质可得4=PC=EF，据此可得EF=CP的值，进而判断③. 5．（2022·浙江北仑·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，G分别是边AB，BC，AD上的动点，且AE＝BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B′EF，连结BB′，B′G，GC，则当BB′最大时，B′G+GC的最小值为（ ） A．﹣2 B．5.6 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当四边形B′EB ... ...
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