2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛甘肃赛区预赛试题（PDF含答案）

中南传媒湖南新教材杯 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛 （甘肃赛区预赛）试题 （考试时间：2023 年 6 月 11 日 9：00－11：30，满分 150 分） 题号 一 11 12 13 14 15 16 总分 得分 评分人 复核人 一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分. 请直接将答案写在题中3的横线上）1.已知 z1，z2，z3为复数，且满足 z1 =|z2 | | z1 z2 | 1，则 | z1 z2 | . 2.设集合 A x ax2 3x 2a 0 (a 2为非零实数），B x 2x2 5x 42 0 ，若 A B A， 则 a的取值范围是 . 0 uuur uuur uur uuur uur uur 3.在△ ABC中，已知 AB AC 2BA BC 3CA CB ，2则 cosC 的最小值是 . 4.袋中装有 m个红球和 n个白球，m>n≥4. 现从中 任取两个球，若取出的两个球是同色的概率等 于取出的两个球是异色的概率，则满足关系 m+n≤40的数组(m，n)的个数为 . 5.已知各项均为整数的数列 an 满肃足 a3 1，a7 4，前6项依次成等差数列，从第5项起依 次成等比数列．若正整数m 使得 am am 1 am 2 amam 1am 2 ，则 m= . 6. 2 2已知点 P为直线 x 2y 4上一动点，过点 P作椭圆 x 4 y 4的两条切线，切点为 A、B， 当点 P运动时，直线 AB过定点的坐标为 ． 7.已知函数 f甘(x） x2e x与 g(x) 2xe x a 的图象有且只有三个交点，则实数 a的取值范围为 _____. 8.已知 a= 0.1e0.1,b 1= ,c= -ln 0.9, 则a，b， c的大小关系是 . 9 9.正四面体 ABCD的底面 BCD中心为O，AB 1，以OA 0为旋转轴将正四面体旋转90 ，则得 到的四面体与原正四面体重合部分的体积为 . 10.从1,2,3, , 20中取 k个不同的数构成集合 M，使得集合 M中一定有 4个不同的数 a，b，c， d满足 a b c d能被 20整除，则 k的最小值为 ． 第 1页，共 3页 市（--县--）--准--考--证--号--学--校--密封线之内不能答题--姓--名--性--别--年-- 年 级-- 级-- GS31415926 二、解答题（共 6小题，满分 80 分. 要求写出解题过程） A B 11.（13分）已知△ ABC的内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 3bcos csin B． 2 （1）求 C 的大小； （2）若a b 3c，求sin A． 12.（13分）如图，已知长方形 ABCD中，AB 2，AD 1 ,M为 DC的中点. 将 ADM沿 AM折起，使得 平面 ADM 平面 ABCM . 3 02 （1）求证： AD BM ； 2 5 （2）若点 E是线段DB上的一动点，问点 E在何位置时，二 面角 E AM D的余弦值为 ．5 肃2 13.（13分）已知数列{an} a a 中， 2 ，且 a n1 n 1 (n N )．证明：an 2 a 1（1） n n 2 ；2 2a1 4a2 甘2na（2） n 4．a1 2 a2 2 an 2 第 2页，共 3页 14.（13分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈 马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 n 1次 状态的概率分布只跟第 n次的状态有关，与第 n 1，n 2，n 3，…次状态是“没有任何关系的”．现有 甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的 2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交 换，重复进行 n ( n N )次操作后，记甲盒子中黑球个数为 X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为 an ，恰有 2 个黑球的概率为bn ． （1）求 X1的分布列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求 X n的数学期望. y2 x2 15.（13分）已知点F 是抛物线C : x2 4y与椭圆 2 2 1(a b 0)的公共焦点，3椭圆上的点M 到点a b F 的最大距离为3． 2 （1）求椭圆的方程； 0 （2）过点M 作C的两条切线，记切点分别为 A,B，求△M AB面2积的最大值. 16.（15分）已知函数 f (x) (2e x) ln x ，其肃中 e 2.71828 为自然对数的底数.（1）讨论函数 f (x)的单调性； 1 1 （2）若 x1, x2 ∈（0，1），且 x2 ln x1 x1 ln x2 2ex1x2 (ln x1 ln x2 ) ，证明： 2e 2e 1． 甘 x1 x2 第 3页，共 3页2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（甘肃赛区预赛）试卷 参考答案及评分标准 一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 ... ...