统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练55高考大题专练五圆锥曲线的综合运用理（含答案）

专练55　高考大题专练(五)　圆锥曲线的综合运用 1．[2023·全国甲卷(理)]已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 2．[2023·全国乙卷(理)]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 3．[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 4．[2023·江西省高三联考]已知曲线C上任意一点到点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2，过点F(2，0)的直线l与曲线C交于A，B两点． (1)求曲线C的方程； (2)若曲线C在A，B处的切线交于点M，求△MAB面积的最小值． 5．[2023·江西省宜春模拟]已知点T是圆A：(x－1)2＋y2－8＝0上的动点，点B(－1，0)，线段BT的垂直平分线交线段AT于点S，记点S的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过B(－1，0)作曲线C的两条弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若·＝0，求△BPQ面积的最大值． 专练55　高考大题专练(五)　圆锥曲线的综合运用 1．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把 x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0， 由Δ1＝16p2－8p>0，得p>. 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， 所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，故p＝2. (2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0). 因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)　(*). 当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称， 因为∠MFN＝90°， 所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1. 不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1， 由得x2－6x＋1＝0， 得或 代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2). 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m. 由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0， 则 y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝. 又· ＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0， 所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4. 所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝＋2＋1. 令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1， 因为m2＋k2＋6km＝4， 所以＋6＋1＝>0， 即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2， 从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2. 故△MFN面积的最小值为4(3－2). 2．解析：(1)因为点A(－2，0)在C上， 所以＝1，得b2＝4. 因为椭圆的离心率e＝＝， 所以c2＝a2， 又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0， 设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则yM＋yN＝2 ＝2 ＝2 ＝2 ＝2× ＝6. 所以MN的中点的纵坐标为＝3， 所以MN的中点为定点(0，3). 3．解析：(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 将点A(0，－2)，B(，－1)的坐标代入，得解得 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：(方法一)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 由题意，知直线MN与y轴不垂直，设其方程为x－1＝t(y＋2). 联立得方程组 消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 设T(x0，y1).由A， ... ...