(
课件网) 第二章 函 数 §5 简单的幂函数(二) 1.理解函数奇偶性的定义； 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法； 3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一 函数奇偶性的几何特征 思考 下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案 问题导学 新知探究 点点落实 答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称. 一般地，图像关于y轴对称的函数称为 函数，图像关于原点对称的函数称为 函数. 偶 奇 答案 知识点二 函数奇偶性的定义 思考1 为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？ 答案 因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断. 思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处？ 答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称， 则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然. (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作. 答案 函数奇偶性的概念： (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图像上. 任意 f(－x)＝f(x) 任意 f(－x)＝－f(x) 知识点三 奇偶性与单调性 思考 观察偶函数y＝x2与奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？ 答案 偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反； 奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同. 一般地，(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 函数，且有最小值 . (2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 . (3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量. 答案 返回 增 －M 增函数 解析答案 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 如何证明函数的奇偶性 证明 因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}， ∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内， (2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数； 证明 函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1， 又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数. 解析答案 证明 定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0， 即该函数既是奇函数又是偶函数. 解析答案 证明 定义域为{x|x≠0}. 若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1， ∴f(－x)＝－f(x)； 若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1， ∴f(－x)＝－f(x)； 即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数. 解析答案 反思与感悟 (5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数. 证明 ∵f(x)的定义域为R， ∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域也为R. 对于任意x∈R，都有g(－x)＝f[－(－x)]＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)， ∴g(x)是偶函数. 反思与感悟 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x的值，则－x也一定是定义域内的一个值. 解析答案 故f(x)为非奇非偶函数. (2)证明f(x)＝x|x|是奇函数； 证明 函数的定义域为R， 因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)， 所以函数为奇函数. 解析答案 即该函数既是奇函数又是偶函数. 证明 定义域为{x|x≠0}. 若x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2， ∴f(－x)＝－f(x)； 若x>0，则－x< ... ...
