12.5 因式分解 1．让学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别与联系； 2．让学生理解提公因式法及公式法并能熟练地运用两种方法分解因式； 3．让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度． 掌握用提公因式法、公式法进行因式分解． 对多项式进行因式分解，并将多项式分解彻底． 一、情景导入 感受新知 如图：这是教室的一块大黑板，如图所示，请同学们计算它的面积． (1)问：m(a＋b＋c)与ma＋mb＋mc相等吗？ 答：相等，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc. (2)从左边到右边的变形是什么？从右边到左边的变形是什么？ 二、自学互研 生成新知 【自主探究】 活动1：完成下列各题： (1)m(a＋b＋c)＝_____； (2)(a＋b)(a－b)＝_____； (3)(a＋b)2＝_____． 活动2：根据上面的计算，你会做下面的填空吗？ (1)ma＋mb＋mc＝( )( )；(2)a2－b2＝( )( )；(3)a2＋2ab＋b2＝( )2. 问题：观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？ (让学生讨论分析并回答．引导学生从等式的左右两边找异同点，学生不难发现第1题是多项式的乘法，而第2题是把一个多项式化成了几个整式的积，它们之间的运算是相反的．) 【合作探究】 追问1：你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗？ (把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解．) 多项式(整式)(整式)…(整式) 活动3：判断下列各题是否为因式分解： (1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 是因式分解． (2)a2－b2＝(a＋b)(a－b) 是因式分解，可以看成整式(a＋b)与整式(a－b)的积 (3)a2－b2＋1＝ (a＋b)(a－b)＋1 不是因式分解，因为最后形式不是积，而是和 归纳：像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法． 总结公因式的特征： (1)公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数； (2)公因式中的字母(或因式)是多项式中各项的相同字母(或因式)； 公因式中字母(或因式)的指数取相同字母(或因式)的最小指数； 活动4：我们学过了哪些乘法公式？能否反过来用于因式分解？ 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，因式分解：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 完全平方式：(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__，因式分解：a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__； (a－b)2＝__a2－2ab＋b2__，因式分解：a2－2ab＋b2＝__(a－b)2__． 因此，我们可以运用公式来分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法． 【师生活动】①明了学情：关注学生在探究过程中因式分解和公因式概念的理解情况． ②差异指导：对学生在探究过程中产生的疑惑及时引导与点拨． ③生生互助：学生在小组内交流、讨论，相互释疑，达成共识． 试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式(公因式) (1) 3a＋3b的公因式是： 3 (2)－24m2x＋16n2x公因式是： 8x (3)2x(a＋b)＋3y(a＋b)的公因式是： (a＋b) (4) 4ab－2a2b2的公因式是： 2ab 三、典例剖析 运用新知 【合作探究】 例1：把下列多项式分解因式： (1)－5a2＋25a；(2)3a2－9ab 分析：(1)由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式： 1．定系数：系数－5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为5； 2．定字母：两项中的相同字母是a，故公因式的字母取a； 3．定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1; 所以，－5a2＋25a的公因式为：5a. 解：(1)－5a2＋25a＝5a·(－a)＋5a·5＝5a(－a＋5)＝ －5a(a－5)． (2)解法如上． 例2：把下列多项式分解因式 (1)4x3y－4x2y2＋xy3 (2)3x3－12xy2. 解：(学生独立完成) 四、课堂小结 回顾新知 这节课你有什么收获？学到了什么？还有哪些需要老师帮你解决的问题？学生小组讨论后，自由发言，师生共同补充完善． 五、检测反馈 落实新知 1．填空： (1)m2－(4mn)＋4n2＝(m－2n)2； (2)a2－2a＋(1)＝(a－1)2； (3)(－x)2－xy ... ...
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