第二章 直角三角形的边角关系专题 解直角三角形的六种常见类型同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第二章 直角三角形的边角关系 专题 解直角三角形的六种常见类型 类型1 已知两直角边解直角三角形 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,求这个三角形的其他元素. 类型2 已知一直角边和斜边解直角三角形 2.如图,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,∠BCM=∠BAC,求 sin ∠BAC 的值和点 B到直线 MC 的距离. 类型3 已知一直角边和一锐角解直角三角形 3.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A =30°,BC =3,D为AC边上一点,∠BDC=45°,求 AD 的长. 类型4 已知斜边和一锐角解直角三角形 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,与BC 相交于点 D,且AB = ,求AD 的长. 类型5 已知一边和一锐角的函数值解直角三角形 5.如图,已知△ABD中,AC⊥BD,BC =8,CD=BF为AD边上的中线. (1)求AC 的长; (2)求 tan∠FBD的值. 类型6 已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值) 解直角三角形 题型1 化解斜三角形问题为解直角三角形问题(化斜为直法) 6.如图,已知△ABC中,求边AC 的长. 题型2 化解四边形问题为解直角三角形问题 7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC =90°,∠CED=45°,∠DCE=30°, 求CD的长和四边形 ABCD的面积. 题型3 化解方程问题为解直角三角形问题 8.已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，关于x的一元二次方程 a(1-x )+2bx+c(1+x )=0有两个相等的实数根，且3c=a+3b. (1)判断△ABC的形状; (2)求 sinA +sinB 的值. 参考答案 1.【解】 ∴∠A=30°.∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 2.【解】∵AB=13,AC=12,∠ACB=90°, 过点 B作 BD⊥MC 于点 D. ∵∠BCM=∠BAC,∴sin ∠BCM= sin ∠BAC.即 即点 B到直线 MC 的距离为 3.【解】∵∠C=90°,∠BDC=45°,BC=3,∴CD=3. 4.【解】∵ 又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=30°. 5.【解】 (2)如图,连接 CF,过点 F作FE⊥BD,垂足为点 E. ∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点， 在 Rt△ACD中,由勾股定理得 在Rt△EFC中, 6.【解】过点 A作AE⊥BC于点E, 在 Rt△ABE中,∴AE=3,BE=4,∴CE=BC-BE=5-4=1, 在 Rt△AEC中,根据勾股定理,得 7.【解】如图,过点 D作 DH⊥AC 于点 H. ∵∠CED=45°, 又∵∠DCE=30°, ∴AB=AE=2. 8.【解】(1)整理方程得((c-a)x +2bx+(a+c)=0,则△=(2b) -4(c-a)(a+c)=4(b +a -c ). ∵方程有两个相等的实数根，∴△=0,即b +a =c . ∴△ABC为直角三角形,且∠C=90°. (2)由3c=a+3b,得a=3c-3b.① 将①代入a +b =c ,得(3c-3b) +b =c . ∴4c -9bc+5b =0,即(4c-5b)(c-b)=0. 由①可知 将②代入①，得 ∴在Rt△ABC中, 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com)