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课件网) 第21章 二次根式 21.1 二次根式 学习目标 1. 理解二次根式的概念； 2. 会确定二次根式有意义时字母的取值范围； (重点) 3. 探索二次根式的性质； (难点) 4. 运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 导入新课 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于 a，则这个数就叫做 a 的平方根. 0 的算术平方根是0. a 的平方根是 . 用 (a≥0)表示. 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是 0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 正数和 0 都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 回顾 当a是正数时, 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时, 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，没有意义. 2. 二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子. 请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 的认识！ 1. 既可表示开方运算，也可表示运算的结果. 概括归纳 (a>0)表示非负数a的算术平方根，也就是说(a≥0) 是一个非负数，它的平方等于a，即有: （1）≥0 (a≥0); （2）() = a(a≥0). 形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 注意：在 中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 典例精析 x是怎样的实数时，二次根式 有意义 分析：要使二次根式有意义,被开方数必须是非负数. 解：被开方数≥0，即x≥1. 所以，当x≥1时,二次根式有意义. 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零。(2)(3)(5)(7)均不是二次根式。 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 思考 等于什么 我们不妨取a的一些值，如2、-2、3、-3 等, 分别计算对应的的值，看看有什么规律： ==2； ==2; ==3; ==3; 这里a的取值有没有限制？取a的一些值,分别计算的值. 从中你能发现什么 这里a的取值没有限制，因为a 是非负数，所以a既可以取正数或0,也可以取负数如当a=3时, ==3；当a=0时, =0；当a=-3时, ==3……从中可以发现：当a取任意实数时，=|a|. 概括归纳 当a≥0时, =a; 当a<0时, =-a. 这是二次根式的又一重要性质. 如果二次根式的被开方数是一个完全平方数，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的。 知识要点 =∣a∣ 2.从取值范围来看， a≥0 a 取任何实数 1.从运算顺序来看， 先开方，后平方 先平方，后开方 3.从运算结果来看: =a a (a≥0) -a (a＜0) = 练一练 化简 解： 解：由 x－1≥0，得 x≥1 1. 当 x 取何值时， 二次根式有意义 当 x≥1 时， 在实数范围内有意义. 试求当 x = 5 时，二次根式 的值. 当 x = 5 时， 思考：当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x为全体实数. 当堂练习 1.计算: (1)() ; (2) () ; (3) ; (4) =8 =9 = =9 =10 2. x是怎样的实数时，下列二次根式有意义 (1); ∵有意义; ∴x＋3≥0 ，∴ x≥-3， ∴当x≥-3时，二次根式有意义. (2); ∵有意义; ∴ ≥0 ，∴ x≥， ∴当x≥时，二次根式有意义. (3) ; ∵有意义; ∴ ＞0 ，∴ x＞0， ∴当x＞0时，二次根式有意义. (4) ; ∵有意义; ∴ ＞0 ，∴ x＜1， ∴当x＜1时，二次根式有意义. 3. () 与是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流。 () 与不一样。理由如下： () 中a只能取非负数，但中a可以取任意实数； () 表示数a的算术平方根的平方，而表示数a的平方的算术平方根。 5.(1)若 ，则 a - b + c =___ ； 解：（1）由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 ... ...
