二次根式的乘除 【典例归纳】 【知识点1 二次根式的乘除法则】 ①二次根式的乘法法则：； ②积的算术平方根：； ③二次根式的除法法则：； ④商的算术平方根：. 【知识点2 最简二次根式】 我们把满足①被开方数不含分母（分母中不含根式）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【知识点3 分母有理化】 ①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式； ②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个． 【典例归纳】 【题型1 求字母的取值范围】 【例1】使成立的x的取值范围是（ ） A．x≠3 B．x＞3 C．x≥2且x≠3 D．x≥3 【训练1-1】若等式成立，则实数k的取值范围是（ ） A．k B．k＞3或k C．k＞3 D．k≥3 【训练1-2】根据二次根式的性质，若 ，则a的取值范围是（ ） A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5 【训练1-3】若等式成立，则m的取值范围是（ ） A．m≥﹣2 B．m≥2 C．﹣2≤m≤2 D．m≥4 【题型2 二次根式乘除的运算】 【例2】计算：． 【训练2-1】计算：． 【训练2-2】计算：． 【训练2-3】计算： （）（a＞0）． 【题型3 二次根式的符号化简】 【例3】把x根号外的因式移到根号内，得（ ） A． B． C． D． 【训练3-1】把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ） A． B． C． D． 【训练3-2】已知xy＜0，把代数式中的x移到根号内，那么这个代数式等于（ ） A． B． C． D． 【题型4 最简二次根式的概念】 【例4】在下列根式：5，，，中，最简二次根式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练4-1】二次根式：，2，，，，，，，是最简二次根式的有（ ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【训练4-2】我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如1是型无理数，则是（ ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【题型5 分母有理化】 【例5】若，，则（ ） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 【训练5-1】实数的整数部分a＝ ，小数部分b＝ ． 【训练5-2】比较大小： （用＞，＜或＝填空）． 【训练5-3】分母有理化： 【题型6 分母有理化的应用】 【例6】观察下列等式 等式一：1； 等式二：； 等式三：； ……； 解决下列问题： （1）化简：； （2）若有理数a、b满足，求a+b的值． 【训练6-1】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简： （1）请用不同的方法化简； （2）化简：． 【训练6-2】像2；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝32．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）2的有理化因式是 ； （2）化简：； （3）化简：． 【训练6-3】阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”： 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，． 因为，所以． 再例如：求y的最大值．做法如下： 解：由 ... ...
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