中小学教育资源及组卷应用平台 专项素养综合全练(一) 二次函数相关的四种常考题型 题型一 二次函数与图形面积最值问题 1.(2023浙江湖州吴兴期中)林场要建一个果园(矩形ABCD),果园的一边靠墙(墙最大可用长度为30米),另三边用木栏围成,中间EF也用木栏隔开,分为甲、乙两个场地,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏),木栏总长为57米.设AB的长为x米,矩形ABCD的面积为S平方米. (1)用含x的代数式表示BC的长; (2)求S关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (3)求果园的最大面积及相应的x的值. 2.(2023浙江衢州期中)如图所示,在一块正方形木板ABCD上贴两种不同的墙纸,正方形EFCG部分贴A型墙纸,△ABE部分贴B型墙纸.A型、B型两种墙纸的价格分别为每平方米60元、每平方米80元. (1)如果木板边长为2 m,FC=1 m,那么这块木板贴墙纸的费用为多少元 (2)如果木板的边长为1 m,正方形EFCG的边长为x m,所需墙纸的费用为y元,求y关于x的函数表达式,并求出当正方形EFCG的边长为多少时,所需墙纸的费用最少,最少的费用为多少 题型二 二次函数与利润最大问题 3.(2023浙江杭州西湖期中)某水果店销售一种新鲜水果,平均每天可售出120箱,每箱盈利60元,为了扩大销售减少库存,水果店决定采取适当的降价措施,经调查发现,每箱水果每降价5元,水果店平均每天可多售出20箱.设每箱水果降价x元. (1)当x=10时,求每天销售该水果的总利润. (2)设每天销售该水果的总利润为w元. ①求w与x之间的函数解析式. ②试判断w能否达到8 200,如果能达到,求出此时x的值;如果不能达到,求出w的最大值. 题型三 二次函数图象与三角形面积问题 4.如图,抛物线y=-x2+2x+m与x轴相交于点A(3,0)和B,与y轴相交于点C. (1)求抛物线的解析式和点B、C的坐标; (2)若点D是抛物线上一点,S△ABD=S△ABC,求点D的坐标. 题型四 二次函数图象与特殊图形问题 5.(2023浙江宁波海曙期中改编)如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.点P为该抛物线在第四象限部分上的一点,过P作PH⊥x轴交BC于点Q. (1)当△PBC的面积最大时,求点P的坐标; (2)当△CPQ为等腰三角形时,直接写出点P的坐标. 6.【探究题】如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”. (1)“抛物线三角形”的形状为 (不必写出证明过程). (2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值. (3)如图,△OAB是抛物线y=-x2+mx(m>0)的“抛物线三角形”.是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD 若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,请说明理由. 答案全解全析 1.解析 (1)∵AB=x米,∴BC=57-3x+3=(60-3x)米. (2)根据题意得S=x(60-3x)=-3x2+60x. ∵ ∴10≤x<20,∴自变量x的取值范围是10≤x<20. (3)S=-3x2+60x=-3(x-10)2+300, ∵-3<0,10≤x<20, ∴当x=10时,S取得最大值,为300. 故果园的最大面积为300平方米,相应的x的值为10. 2.解析 (1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=DA=2 m, ∵四边形EFCG是正方形, ∴EF=CF=1 m,BF=BC-CF=1 m, ∴S正方形EFCG=1 m2,S△ABE=×2×1=1 m2, ∴这块木板贴墙纸的费用为60×1+1×80=140(元). (2)∵木板的边长为1 m,正方形EFCG的边长为x m, ∴BF=(1-x)m,S正方形EFCG=x2 m2,S△ABE=(1-x) m2, ∴y=60x2+80×(1-x) =60x2-40x+40 =60, ∵60>0,0
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