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课件网) 第5章 几何证明初步 5.6 几何证明举例 第1课时 全等三角形的相关证明 学习目标 进一步掌握三角形全等的性质 能够证明三角形全等的判定方法3 复习三角形全等的判定方法和基本事实 知识回顾 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 你还记得全等三角形的性质吗？ 全等三角形的判定方法呢？ 知识回顾 判定方法1 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. “SAS” 判定方法2 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. “ASA” 判定方法3 两角分别相等且其中一组等角的对边也相 等的两个三角形全等. “AAS” 判定方法4 三边分别相等的两个三角形全等. “SSS” 基本事实 全等三角形的判定方法 你能够证明判定方法3吗？ 判定方法1，2，4都已是基本事实. 判定方法3的证明 已知：如图，在△ABC和△A B C 中，AB=A B ， 求证：△ABC≌△A B C . A B C A B C ∠B=∠B ，∠C=∠ C . 证明：在△ABC和△A B C 中， ∴△ABC≌△A B C （ASA）. ∵AB=A B （已知）， ∴∠A=∠A （等量代换）. ∠A =180°－∠B －∠C （三角形内角和定理）， ∴∠A=180°－∠B－∠C， ∵∠B=∠B ，∠C=∠ C （已知）， 判定方法3的证明 我们把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等. 所以基本事实SAS，ASA，SSS以及定理AAS都可以用来判定两个三角形是否全等. 判定三角形全等，要有三组条件对应相等，且其中至少要有一组边相等，应注意，没有“SSA”和“AAA”的判定方法. 典例精讲 例1 已知：如图，AB=CB，AD=CD. 求证：∠A=∠C. A B C D 证明：连接DB. ∴∠A=∠C（全等三角形对应角的定义）. ∴△ABD≌△CBD（SSS）, BD=BD（公共边）， ∵AB=CB，AD=CD（已知）， 在△ABD和△CBD中， 解题技巧 选择哪一种方法判定三角形全等，取决于题目中的已知条件： 若已知一边一角，则找另一组角或已知角的另一组邻边相等. 若已知两角分别相等，则找它们的夹边或一组等角的对边相等； 若已知两边分别相等，则找它们的夹角或第三边相等； 在证明两个角相等或两条线段相等时，可考察它们是否在给出的两个全等三角形中. 如果不在，可以尝试通过添加辅助线，构造两个全等三角形，使待证的角或线段分别是这两个全等三角形的对应角或对应边. 挑战自我 作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质？对应边上的中线、对应边上的高有什么性质？证明你的结论. 发现它们对应角的平分线、对应边上的中线、对应边上的高分别相等. 挑战自我 A B C D 如图，BD和B D 分别是∠ABC和∠A B C 的平分线.求证：BD=B D . 1 证明：因为△ABC≌△A B C （已知）， 所以BD=B D （全等三角形的对应边相等）. 所以△ABD≌△A B D （ASA）， 所以∠ABD=∠A B D （等量代换）， AB=A B （全等三角形的对应边相等）. 所以∠A=∠A , ∠ABC=∠A B C （全等三角形的对应角相等）， A B C D 挑战自我 2 如图，AE和A E 分别是BC和B C 边上的中线. 求证：AE=A E . A B C E 证明：因为△ABC≌△A B C （已知）， 所以AE=A E （全等三角形的对应边相等）. 所以△ABE≌△A B E （SAS）， 所以BE=B E （等式的基本性质）， ∠B=∠B （全等三角形的对应角相等）. 所以AB=A B ，BC=B C （全等三角形的对应边相等）， A B C E 挑战自我 3 如图，CF和C F 分别是AB和A B 边上的高. 求证：CF=C F . A B C F A B C F 证明：因为△ABC≌△A B C （已知）， 所以CF=C F （全等三角形的对应边相等）. 所以△ACF≌△A C F （AAS）， 所以∠AFC=∠A F C =90°（垂直的定义）， 因为CF⊥AB，C F ⊥A B （已知）， ∠A=∠A （全等三角形的对应角相等）. 所以AC=A C （全等三角形的对应 ... ...
