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课件网) 第2章 图形的轴对称 2.5 角平分线的性质 学习目标 1.通过折纸、画图等操作，体会角的轴对称性，理解角的平分线所在的直线是它的对称轴. 2.掌握角平分线的性质和判定，能够利用它们解决一些实际问题. 3.会用尺规作图作一个角的平分线，并能写出具体的作图步骤. 4.经历探索角平分线的性质的过程，进一步培养推理的意识和能力，熟悉几何推理的基本思想. B 活动探究 试一试：在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点A的某条直线对折，使角的两边BA与AC重合然后把纸展开后铺平，折痕记为AD，你发现什么现象？ 由此，我们可以得到如下结论： 角是 图形， 它的对称轴是 . C B A D 轴对称 AD 角的平分线所在的直线是它的对称轴. C B A D 在∠BAC的角平分线AD上任意取一点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N，用圆规比较PN与PM的大小，你有什么发现 说明你的理由.由此你能得出什么结论 P M N 解：通过用圆规比较PM与PN的大小，发现PM=PN . 解：因为AD平分∠BAC，所以 ∠1= ∠2 因为PM⊥AB，PN⊥AC， 所以 ∠ AMP=∠ANP=90°. 在△AMP与△ANP中， 因为 所以△AMP ≌ △ANP（AAS）. 所以PM=PN. ∠1=∠2， ∠ AMP=∠ANP， AP=AP， C B A D P M N 1 2 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 角平分线性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. C B M A P N D 应用所具备的条件： （1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； （3）PM⊥AB PN⊥AC 符号语言： 因为AD平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC 所以PM=PN . 如图，已知∠BAC，经过∠BAC内部任意作直线l1∥AB，作直线l2∥AC，使l2与AC之间的距离等于l1与AB之间的距离.记l1 ， l2的交点为P.则P是∠BAC内部一个到∠BAC的两边AB，AC距离相等的点.作直线AP.如果将∠BAC沿AP对折.你发现∠BAP与∠CAP重合吗 由此你能得到什么结论 B C B A P 解：∠BAP与∠CAP重合. ∠BAP=∠CAP，点P在∠BAC的平分线上. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. l1 l2 角平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）点P在∠BAC的内部； （2）PM⊥AB PN⊥AC； （3）PM=PN. 符号语言： 因为 PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN； 所以点P在∠BAC的角平分线上，所以∠1=∠2. C B A D P M N 1 2 已知：∠BAC . 求作：∠BAC 的平分线. A B C E F P 已知一个角，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗？ 你能说明所作出的射线AP是∠BAC的平分线吗？ A B C E F P 连接PE，PF， 因为AE=AF，EP=FP， 由SSS，△APE≌△APF. 所以∠BAP=∠CAP. 【例】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 试说明：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 因为BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， 所以PD=PE. 同理，PE=PF. 所以PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 解：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， D P M N A B C F E D P M N A B C F E 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 并且这点到三边的距离相等. 想一想，点P在∠A的平分线上吗？ 这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 1.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3 cm,则点D到AB的距离DE长度是( ) A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm C 随堂练习 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. D 2.如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） O C 200 400m 0 比例尺： 3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． A B D C E F G H M A B D C E F 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， ... ...
