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课件网) ● 点题型·提升课 馆点易错· 诊断课 点易错·训练课 秒本章知识梳理 歌点状元·提分课 A E B C D 证明：如图，连接BE .点E是△ABC的内心， 同孤或等孤所对 的圆周角相等 .∠1=∠2，∠3=∠4. 又∠3=∠5，'.∠4=∠5.三角形外角的性质 .·∠DEB=∠1+∠4，∠DBE=∠2+∠5， ∴.∠DEB=∠DBE..DE=DB. 变式一 增加特殊角或角的关系进行计算或证明 1.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和 △ABC的外接圆⊙O相交于点D,连接BE,BD.若⊙O 的直径为10cm,∠BAC=60°，求DE的长， 0 E C B D 解：如图，连接OB,OD. .·点E是△ABC的内心， ..∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD. .·∠CAD=∠CBD,.∠BAD=∠CBD. ∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠BED=∠BAD+∠ABE,. ∠DBE=∠BED..BD=DE. .·∠BAC=60°，.∴.∠BAD=∠CAD=30°. ∠BOD=2∠BAD=60°.又OB=OD, .△OBD是等边三角形..BD=OD. ⊙O的直径为10cm,.BD=OD=5cm. .DE=BD=5 cm. A E C h B D A E B C D 解：设△ABC的外接圆的圆心为点O .·∠BAC=90°，.BC是⊙O的直径，点O在BC上.如 图，连接OD,CD,则∠BDC=90°. .·点E是△ABC的内心， .∴.∠BAD=∠CAD..∴.∠BOD=∠COD=90°. 又OB=OC,..BD=CD. .△BCD为等腰直角三角形. .·BC=6,.由勾股定理，得BD+CD=BC2, 即2BD=36..BD=3√2（负值已舍去）. 故BD的长为3W2. A E B C F D 3.★如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O,且点E 是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F,与⊙O 交于点D,过点D的⊙O的切线交AB的延长线于点P. (1)试判断△BDE的形状，并给予证明； (2)若∠APD=30°，BE=2,求AE的长. A 0 E B F C P D 解：(1)△BDE为等腰直角三角形.证明如下： 如图..·点E是△ABC的内心，.∠1=∠2，∠3= ∠6. 又∠4=∠6，.∠2+∠3=∠1+∠4，即∠5=∠DBE, .BD=DE..·AB为⊙O的直径，.∠ADB=90°， .△BDE为等腰直角三角形.
