【高中】三角形的五心【强烈推荐】[1]

三角形的五心 三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r的计算： 设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=． 特别的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)． 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． 5、三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)． 每个三角形都有三个旁切圆． A类例题 例1 证明重心定理。 证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然EFBC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF． 又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G． 证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE， 因为EFBC，HIBC， 所以 EFHI为平行四边形． 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF． 同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点． 即定理证毕． 链接 证明外心、内心定理是很容易的。 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心． 内心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点． 上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成． 例2证明垂心定理 分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证． 链接 （1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是··=1． （2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。 情景再现 1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等． 2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍． B类例题 例3 过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N. 作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.(杭州 ... ...