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课件网) 第5章 几何证明初步 5.6 几何证明举例 第4课时 角平分线的相关证明 温故知新 我们曾利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出角平分线的性质： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 你能用推理的方法证明它的真实性吗？ 已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N. 求证：PM=PN. 探究发现 A B C D N M P 证明：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD. 又∵PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别是垂足， ∴∠PMB=∠PNB=90°. ∵在△PMB和△PNB中，BP是公共边， ∴△PMB≌△PNB. ∴PM=PN. 证明可以有不同的表述形式，如“因为，所以”或“∵，∴”. 探究发现 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 通过证明，我们得到 你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？ 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 它的逆命题正确吗？如果你认为正确，能加以证明吗？ 探究发现 A C D N M P B 证明：连接MN得到等腰三角形PMN. ∴∠PMN=∠PNM. ∵∠BMN+∠PMN=90°， ∠BNM+∠PNM=90°， ∴∠BMN=∠BNM. ∴△BMN也是等腰三角形. ∴BM=BN. 已知：点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M，N，且PM=PN. 求证：点P在∠ABC的平分线上. 探究发现 过点B，P作射线BD， ∵BP是公共边， ∴△PBM≌△PBN. ∴∠ABD=∠CBD. ∴点P在∠ABC的平分线上. 证明： 通过证明，我们得到角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知：点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M，N，且PM=PN. 求证：点P在∠ABC的平分线上. A C D N M P B 典例训练 已知：如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为点D，作PF⊥BN，垂足为点F，连接BP. 求证：BP是∠ABC的平分线. 证明：如图所示，过点P作PE⊥AC，垂足为点E. ∵AP，CP分别平分∠MAC，∠NCA， 且PD⊥BM，PF⊥BN， ∴PD=PE，PF=PE. ∴PD=PF. B A C D E F M N P 典例训练 已知：如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为点D，作PF⊥BN，垂足为点F，连接BP. 求证：BP是∠ABC的平分线. 又∵PD⊥BM，PF⊥BN， ∴点P在∠ABC的平分线上. ∴BP是∠ABC的平分线. B A C D E F M N P 证明： 方法总结 证明一条射线是一个角的平分线时，一般过这条射线上的一点作角两边的垂线，证明这两条垂线段相等. 探究发现 已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线. 求证：AM，BN，CP交于一点. 要证明三角形的三条角平分线交于一点， 只要证明两条角平分线的交点也在第三条 角平分线上就可以了. A B C M N P 分析： 探究发现 已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线. 求证：AM，BN，CP交于一点. 证明：如图，设AM，BN交于点O.过点O分别作OD⊥BC， OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F. ∵O是∠BAC角平分线AM上的一点，∴OE=OF. 同理，OD=OF.∴OD=OE. ∵CP是∠ACB的平分线，∴O在CP上. 因此，AM，BN，CP交于一点. A B C D E F M N P 三角形三条角平分线交于一点. O 当堂检测 1.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，D是BE与CF的交点， AD平分∠BAC. 求证： BD=CD. 证明： ∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB（已知）， ∴DF=DE（角平分线上的点到这个角度两边的距离相等）. 又∵∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义）， ∠FDB=∠DEC（对顶角相等）， ∴△DFB≌△DEC（ASA）， ∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）. A B C D E F 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC. AD是∠A的平分线. 求证： AB=AC+CD. 当堂检测 A B C D 证明： ... ...
