【精品解析】【培优卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

【培优卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（2023·青岛模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　） A．（3，） B．（3，-） C．（，） D．（，-） 【答案】D 【知识点】菱形的性质；特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F， ∴∠BE0=∠B′FO=90°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC， ∴∠AOC+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠AOC=60°， ∴∠AOB=30°， ∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，OB′=OB=， ∴∠B′OF=45°， 在Rt△B′OF中， OF=OB′ cos45°=×=， ∴B′F=， ∴点B′的坐标为：（，-）． 故答案为：D． 【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标． 2．（2022·仙桃）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：连接AD，如图： ∵网格是有一个角60°为菱形， ∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形， ∴AD= BD= BC= AC， ∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°， ∴∠ABD=∠ABC=30°， ∴tan∠ABC= tan30°=. 故答案为：C. 【分析】连接AD，易得△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，则AD= BD= BC= AC，推出四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答. 3．（2022·灞桥模拟）在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+）：2，则＝（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】菱形的性质；矩形的性质；特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：， ， ， 四边形BEDF是菱形， ，， ， ， ， 四边形ABCD是矩形， ， ， . 故答案为：C. 【分析】由，可得，由，可得，从而得出∠EDF=30°，根据特殊角三角函数值即可求解. 4．（2021·河南模拟）如图，在 OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）.按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（　　） A． B． C．2 D．2 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；特殊角的三角函数值；作图-线段垂直平分线 【解析】【解答】解：连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图， ∵点A（1， ），点C（3，0） ∴OM＝1，AM＝ ，OC＝3， ∴OA＝ ＝2， ∵tan∠AOM＝ ＝ ， ∴∠AOM＝60°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2， 由作法得EF垂直平分BC， ∴HC＝HB， ∴△HBC为等边三角形， ∴BH＝2， ∴AH＝1， ∴H点的坐标为（2， ）， ∴OH＝ ＝ . 故答案为：B. 【分析】连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图，由A、B坐标可得OM＝1，AM＝ ，OC＝3，利用勾股定理求出OA=2，根据∠AOM正切函数值，可求出∠AOM＝60°，由平行四边形的性质可得∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，再证△HBC为等边三角形，可得BH=BC＝2，从而求出AH＝1，即得H点的坐标为（2， ），利用勾股定理求出OH即可. 5．（2021·滨湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ... ...