中小学教育资源及组卷应用平台 1.2.4二面角———题型·技巧攻略 题型1定义法求面面角 2 题型2三垂线法求面面角 7 题型3向量法求面面角 16 题型4探索性习题 28 知识点一．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α l β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B，二面角的范围为[0，π]． (3)二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α l β的平面角． 知识点二．用空间向量求二面角的大小 定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形 关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ 题型1定义法求面面角 【方法总结】用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． 【例题1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小. （2）判断二面角的平面角，并求得角的大小. 【详解】（1）在正方体中，连接， 由于，所以是异面直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为. 【变式1-1】1.（2023春·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点. (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据即可证明； （2）证明平面，平面，进而结合已知条件证明为等腰直角三角形，，再根据二面角的概念求解即可. 【详解】（1）证明：因为、分别为棱、的中点. 所以，在中，， 因为平面，平面， 所以，直线平面 （2）解：因为平面平面，平面平面，平面 , 所以平面， 所以，是直线与平面所成的角， 因为直线与平面所成的角为45°， 所以，， 所以 因为平面，平面， 所以，， 因为，，平面， 所以平面， 所以，是直线与平面所成角， 因为直线与平面所成角为30°， 所以， 所以， 不妨设，则， 所以，为等腰直角三角形， 因为，， 所以是二面角的平面角， 所以二面角的大小为 【变式1-1】2.（2023·高二单元测试）如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以 平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连 ... ...
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