13.3.2 等边三角形一课一练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 13.3.2 等边三角形一课一练 一、填空题 1．如上图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=　 　 二、单选题 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（　　） A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD C． D．CD=BD 3．如图，在中，，则的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 4．若等边△ABC的边长为2，那么△ABC的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2，则AC长为（　　） A．4 B．2 C．1 D． 6．如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（　　） A．6 B． C． D． 三、解答题 7．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，求∠APE的度数. 四、作图题 8．如图，已知在△ABC中，∠A=90° （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作 图痕迹，不写作法和证明）． （2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积． 五、综合题 9．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E． （1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明； （2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由． 六、实践探究题 10．根据要求回答问题： （1）已知：等边△ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且△PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（如图1），AD+AE的值为　 　； （2）[类比探究]在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1，其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程； （3）[拓展迁移]如图3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，a的式子直接写出你的结论． 答案解析部分 1．【答案】3 【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OA于E， ∵∠AOB＝30°，OP平分∠AOB， ∴∠AOP＝∠BOP＝15°． ∵PC∥OB， ∴∠BOP＝∠OPC＝15°， ∴∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°， 又∵PC＝6， ∴PE＝PC＝3， ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E， ∴PD＝PE＝3， 故答案为3． 【分析】过点P作PE⊥OA于E，先求出∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得PE＝PC＝3，再根据PD=PE即可得到答案。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：根据作图可得BD平分∠ABC，故A正确； ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝30°＝∠A， ∴AD＝BD，故B正确； ∵∠CBD＝∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD，故D； ∴AD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△CBD，故C错误． 故答案为：C． 【分析】根据作图即可判断A，根据角平分线的性质即可判断B，根据含30度角的直角三角形的性质，即可判断CD， 3．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D， ∵∠B＝∠ACB＝15°，AB＝AC＝4， ∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°， ∴CD＝AC＝×4＝2， ∴△ABC的面积＝AB CD＝×4×2＝4， 故答案为：A. 【分析】过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，先求出∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长，最后利用三角形的面积公式可得答案。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC， ... ...