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课件网) 2.3.3 点到直线的距离公式 第 二 章 直线和圆的方程 人教A版2019选修第一册 学习目标 1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式. 2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题. 3. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 情景导入 知识回顾：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？ 直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离. 如图，点A到直线l的距离是AC. 思考：给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程，如何求点到直线的距离？ 点到直线的距离公式 探究：已知点，直线 l ：Ax + By + C=0，如何求点P到直线 l 的距离？ x y l Q P 法一：坐标法求距离 分析：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q为垂足。求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|即可。 设，. 由 ,直线l 的斜率为， 可得l 的垂线段PQ的斜率为 ， 因此，PQ的方程为： . 点到直线的距离公式 解方程组 x y l Q P 得到直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为 点到直线的距离公式 因此，点到直线 l ：Ax + By + C=0的距离 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立. 上述方法中，我们根据点到直线的距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量大。 因此，能否给出简化的运算方式？ 点到直线的距离公式 探究：已知点，直线 l ：Ax + By + C=0，如何求点P到直线 l 的距离？ 法二：向量法求距离 分析：点P到直线 l 的距离，就是向量的模. 设M（x, y）是直线 l 上的任意一点，是与直线 l 的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量 点到直线的距离公式 则是直线 l 的方向向量. , 两式相减, 得 . 因为，向量（A，B）与向量垂直. 向量 是与直线l 的方程向量垂直的一个单位向量. 取 , 设是直线l ：Ax + By + C=0上的任意两点， 点到直线的距离公式 = = 因为点在直线l上所以代入上式， 得= 因此 = 点到直线的距离公式 思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？ 点到直线的距离公式 (1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度. (2)图示: 注意： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式. (2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用. 点到直线的距离 （3）公式 点到直线的距离公式 2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) × C 点到直线的距离公式 点到直线距离的应用 点到直线距离的应用 点到直线距离的应用 2.求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是 的直线l的方程. 解 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0， 则由点到直线的距离公式知， 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 点到直线距离的应用 点到直线距离的应用 点到直线距离的应用 对称问题 对称问题 对称问题 1.已知A(1，2)，则 (1)点A关于x轴的对称点的坐标为_____； (2)点A关于y轴的对称点的坐标为_____； (3)点A关于直线y＝x的对称点的坐标为_____； (4)点A关于直线x＝2的对称点的坐标为_____． (1，－2) (－1，2) (2，1) (3，2) 对称问题 对称问题 思路分析 根据光的反射定律，反射光线通过光源的像，光源A点的像A′与A关于已知直线l成轴对称，从而可得A′的坐标，利用两点式即得反射光线所在直线的方程． 对称问题 课堂小结 1.点到直线的距离公式 2.点到直线距离 ... ...
