28.2.2 应用举例 （第1课时） 一、教学内容分析 学习锐角三角函数的基本过程体现了三个基本数学思想，由实际问题抽象得到三角函数概念，再通过直角三角形相关知识的推理丰富内容，最后用于指导实际问题的建模与解决．本课时主要体现了第三个环节，即用解直角三角形的知识解决现实世界中与视角（包括仰角、俯角）有关的问题． 二、教学目标 1．使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力； 2．利用解直角三角形的相关知识解决太空视角、高度测量等问题，体会数形结合思想的应用价值． 三、教学重难点 【重点】利用解直角三角形的知识解决与视角有关的实际问题． 【难点】根据问题情境画出示意图，归结为解直角三角形问题． 四、教学方法 讨论法．由于本节课所需的知识，比如仰角、俯角、解直角三角形等，在前面都已经学过，所以关键在于把实际问题转化为数学问题，在此过程中充分发挥学生的主体地位，引导学生积极探索发言讨论，在自主探索和小组合作中达成学习目标． 五、教学过程 （一）新课导入 回顾： 1．根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型？ 2．解直角三角形的依据有哪些？ 【提示】 1．解直角三角形的两种基本类型： ①已知一角（锐角）一边（邻边、对边或斜边），解直角三角形； ②已知两边（两条直角边，或一条直角边斜边 ），解直角三角形． 2．如图，在Rt△ABC中， (1)三边之间的关系: (勾股定理)； (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°； (3)边角之间的关系: 意图：回顾本节课中解决实际问题所需的主要知识，为新课学习做好铺垫． （二）新课讲授 活动一 探索太空观察地球问题 例3 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，π 取 3.142，结果取整数）？ 思考： 1．从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？ 2．在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点？请根据题中的相关条件画出示意图． 3．问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？ 【提示】1．从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点． 2．如图，用⊙O表示地球，点 F是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体观测地球时的最远点． 3．的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即α），α可在Rt△POQ中求解． 解：在图中，FQ 是⊙O的切线，△FOQ 是直角三角形． ∵ cosα== ≈ 0.949 1， ∴ α ≈18.36°． ∴ 的长为×6 400 ≈×6 400≈2 051（km）． 由此可知，当组合体在 P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2 051 km． 意图：在对问题的分析过程中，提出一系列思考题，引导学生探索解决太空观察地球两点间距离问题，把实际问题抽象为数学问题．解答思考题，鼓励学生在独立思考的基础上，进行讨论交流，深化认识． 活动二 探索测量建筑物高度问题 例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？ 观察：结合图形，指出从热气球看楼的视平线、仰角、俯角分别指什么？ 思考：从解直角三角形的角度来看，这个问题可抽象为什么问题？怎样解决？ 【提示】在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角 ... ...
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