专题1.1菱形的性质与判定 基础知识梳理讲解（含解析）2023-2024学年九年级数学上册北师大版

专题1.1 菱形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． 构成条件：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等．两个条件必须同时具备． 【例1】 1．如图，为的对角线，点E、F分别在边上，，连接交AC于点G．若，求证．四边形是菱形． 【变式】 2．如图，在四边形中，，．过点分别作于点，于点，且．求证：四边形是菱形． 【知识点2】菱形的性质 性质定理1：菱形的四条边相等； 性质定理2：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分每组对角； 性质定理3．菱形是轴对称图形，又是中心对称图形，对角线所在直线为其对称轴，对角线交点为其对称中心． 【例2】 3．如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小． 【变式】 4．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，交y轴于点D，连接，交于点E．已知点，，求点B的坐标． 【知识点3】菱形的判定 判定1：定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形； 判定2：四条边都相等的四边形是菱形； 判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 【例3】 5．如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【变式1】 6．如图，在中，，点O是上的中点，将绕着点O旋转得 (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求菱形的面积． 【变式2】 7．平行四边形中，、是、的中点，、分别交、的延长线于、； (1)求证： ； (2)若四边形为菱形，试判断与的大小，并证明你的结论． 【知识点4】菱形的的面积 方法1：菱形的面积等于底乘以高；方法2：菱形的面积等于对角线积的一半． 【例4】 8．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【变式】 9．如图，小滨同学尝试用尺规作图的方法在给定的平行四边形中作菱形．以点A，C为圆心，以适当长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交于点E，O，F． (1)根据作图痕迹，判断四边形是否是菱形，并说明理由． (2)若，求四边形的面积． 【题型一】菱形性质的运用———证明 【例1】 10．如图，四边形是菱形，，点是边上一动点，在边上，恰好使成为等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当菱形的面积为时，求的周长最小值． 【变式】 11．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【题型二】菱形性质的运用———面积 【例2】 12．如图，，将绕点C顺时针旋转60°后得到，点A、B的对应点分别是点D、A，与相较于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式】 13．如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为， (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，的面积为24，求菱形的面积． 【题型三】菱形中的折叠问题 【例3】 14．如图，四边形是平行四边形，、分别是线段、上的点，点是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且平行四边形的面积为，求的值． 【变式】 15．在数学实践活动中，将一张平行四边形纸片进行折叠（如图1、2所示），折痕为，点E在边上，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在边上，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若点E是边的中点，且，，求的长． 【题型四】菱形中的动点问题 【例4】 16．如图，在中，对角线的中点为O，点E为上的动点，连接，并延长交于点F． (1)求证：． (2)连接，若，试判断四边形的形状，并给出证明过程． 【变式】 17．如图1，四边形是菱形，点E，点F分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点G，H． (1)求证：； (2)如 ... ...