2024年中考数学核心几何模型重点突破专项训练测试卷 专题02 角平分线模型（教师版＋学生版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 角平分线模型 【理论基础】角平分线的概念：如图，已知OC是的角平分线 【模型变式1】双中点求和型 如图已知OC是内任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线 【证明】 射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线 【模型总结】某个角内的一条射线，把这个角分成两个角，这两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。 【模型变式2】双中点求差型 如图已知OB是外任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线 【证明】 射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线 【模型总结】某个角外的一条射线，以该射线为邻边的两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。 【例1】如图，已知和互余，、分别平分和，，则_____°． 【答案】 【分析】根据余角的定义以及角平分线的定义解答即可． 【解析】解：∵、分别平分和，， ∴，， ∴， ∴①， 又∵和互余， ∴②， ①＋②，得：， 解得：． 故答案为：． 【例2】如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ） A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD 【答案】C 【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论． 【解析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线， ∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE． 又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°， ∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°． 故选C． 【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． (1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ (2)如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系； (3)如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时， ①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可； ②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系 【答案】(1)45° (2)∠MON=α (3)① ∠MON=α；②α=β或=β 【分析】（1）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可； （2）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可； （3）①求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可； ②分OM、ON在OB的异侧和同侧两种情况求解． 【解析】(1)∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90 °，∠BOC=60° ， ∴∠COA=∠AOB+ ∠BOC=90° +60°=150° ． ∵OM 平分∠AOC， ∴∠COM=∠COA=75°， ∵ON平分∠BOC， ∴ ∠CON=∠BOC=30°， ∴∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45° (2)∵∠AOB=α，∠BOC=60°， ∴∠COA=α+60°， ∵OM 平分∠AOC， ∴∠COM=∠COA=(α+60°)， ∵ON平分∠BOC， ∴ ∠CON=∠BOC=30°， ∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+60°)-30°=α． (3)①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠COA=∠AOB+ ∠BOC=α+β． ∵OM 平分∠AOC， ∴∠COM=∠COA=(α+β)， ∵ON平分∠BOC， ∴ ∠CON=∠BOC=β， ∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+β)- β=α． ②当OM、ON在OB的异侧时，如图3-1， ∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β， ∴∠BOM=(α+β)- β=(α-β)， ∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON =β， ∴β=3×(α-β)， ∴α=β； 当OM、ON在OB的同侧时，如图3-2， ∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β， ∴∠BOM= β-(α+β) =(β-α)， ∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON =β， ∴β=3×(β-α)， ∴α=β． 综上可知，α=β或=β． 一、单选题 1．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（ ） A．96° B．104° C．114° D．124 ... ...