中小学教育资源及组卷应用平台 专题05 三角形中的角平分线模型 【模型1】如图，已知OP平分，过点P作,；可根据角平分线性质证得≌，从而可得，。 【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法 【辅助线作法一】 如图，已知OP平分，点C是OA上的一点，通常情况下，在OB上取一点D，使得，连接PD，结合，，可证得≌。从而可得，， 。 【辅助线作法二】 如图，已知OP平分，，通常情况下，延长CP交OB于点D，结合，，，可证得≌。从而可得，，。 【辅助线作法三】 如图，已知OP平分，通常情况下，过点P作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等； 结合，从而可得，。 【例1】如图，OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F为OC上另一点，连接DF，EF，则下列结论：①OD＝OE；②DF＝FE； ③∠DFO＝∠EFO；④S△DFP＝S△EFP，正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明△ODP≌△OEP（AAS），由全等三角形的性质可推出OD=OE，证明△DPF≌△EPF（SAS），由全等三角形的性质可推出DF=EF．∠DFP=∠EFP，S△DFP=S△EFP，则可得出答案． 【解析】解：①∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠EOP， ∵PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴∠ODP=∠OEP=90°， ∵OP=OP， ∴△ODP≌△OEP（AAS）， ∴OD=OE． 故①正确； ②∵△ODP≌△OEP， ∴PD=PE，∠OPD=∠OPE， ∴∠DPF=∠EPF， ∵PF=PF， ∴△DPF≌△EPF（SAS）， ∴DF=EF． 故②正确； ③∵△DPF≌△EPF， ∴∠DFO=∠EFO， 故③正确； ④∵△DPF≌△EPF， ∴S△DFP=S△EFP， 故④正确． 故选：D． 【例2】如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB． 求证：△AOC≌△BOC． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立． 【解析】证明：∵OC平分∠MON， ∴∠AOC＝∠BOC， 在△AOC和△BOC中， ， ∴△AOC≌△BOC（SAS）． 【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则，下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过C作CEDA，交BA的延长线于E．… 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决） 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】（1）如图2：过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到＝，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC即可证明结论； （2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用（1）中的结论得到＝，即＝，则可计算出BD=，然后利用勾股定理计算出AD=，从而可得到△ABD的周长． 【解析】（1）解：如图2：过C作CE∥DA．交BA的延长线于E， ∵CE//AD， ∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴＝； （2）∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC＝5， ∵AD平分∠BAC， ∴＝，即＝， ∴BD＝， ∴AD＝＝＝， ∴△ABD的周长＝+3+＝． 一、单选题 1．如图，中，，，，点，分别在，上，，为中点，平分，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线和平行可得，从而可得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求出，，进而求出，最后进行计算求出即可解答． 【解析】解：∵为中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E， 若AB=5，BC=3，则EC的长为（ ） A．1 B．2 C．2.5 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得A ... ...
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