3.2 双曲线 学案（含答案）

专题07 双曲线 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【题型1 双曲线的定义】 【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】 【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】 【题型4 判断方程是否表示双曲线】 【题型5 根据方程表示双曲线求参数】 【题型6 求双曲线方程】 【题型7 等轴双曲线】 【题型8 直线与双曲线的位置关系】 【题型9 求弦长】 【题型10 双曲线与渐近线的关系】 【题型1 双曲线的定义】 一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【典例1】（2023秋·高二课时练面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 【答案】B 【详解】如图： 设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为， 则若在线段（不包含两端点）上，有； 若在直线外，有； 若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点）， 则有. 故选：B 【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】 【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【答案】或 【详解】由题意，点为双曲线上一点，且， 可得，即，解得， 又由直线过双曲线的一个焦点， 当时，可得；当时，可得； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的方程为或. 故答案为：或 【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】 【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由双曲线标准方程得：， 由双曲线定义得: 即， 解得（舍去）或， 故选：A. 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】D 【详解】设，，则. 则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支. 故选：D. 【题型4 判断方程是否表示双曲线】 【典例1】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 【答案】BCD 【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误； 当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确； 若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确； 若曲线C为双曲线，则，解得，故正确． 故选． 【题型5 根据方程表示双曲线求参数】 【典例1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为曲线是双曲线， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：. 【题型6 求双 ... ...