第五章4.2 二项式系数的性质 A级 必备知识基础练 1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于( ) A.11 B.10 C.9 D.8 2.[2023福建漳州校考期中]若二项式x2+7的展开式中的各项系数之和为-1,则a的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.[2023山西运城高二统考阶段练习](1+x+x2)(1-x)6的展开式中x4的系数是( ) A.-10 B.10 C.-20 D.50 4.若的二项式系数之和为128,则展开式中含的项是( ) A. B. C. D. 5.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于( ) A.64 B.32 C.63 D.31 6.(多选题)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( ) A.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想: B.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想: C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+…+=2n D.由“111=11,112=121,113=1 331”猜想:115=15 101 051 7.[2023浙江高二校联考期中]1+(1-x)5的展开式中所有项的系数和为 . 8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求: (1)a0+a1+a2+a3+a4+a5; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)a1+a3+a5. 9.[2023江苏扬州高二阶段练习]已知+2n(n∈N*)的展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项. B级 关键能力提升练 10.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 11.若(1-2x)2 016=a0+a1x+…+a2 016x2 016(x∈R),则+…+的值为( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 12.(多选题)[2023广东江门华侨中学校考期中]已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,下列结论正确的有( ) A.各项二项式系数和为128 B.式子a1+a2+…+a7的值为2 C.式子a1+a3+a5+a7的值为-1 094 D.式子a0+a2+a4+a6的值为1 093 13.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N*)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于( ) A.26 B.27 C.7 D.8 14.(多选题)[2023山东聊城聊城一中校考期中]已知ax2+10(a>0)展开式的各项系数和为1 024,则下列说法正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在含x6的项 D.展开式中含x15项的系数为45 15.如图数表满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n≥2)行的第2个数是 . 16.若(2x+)4=a0+a1x+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 . 17.[2023福建高二福建师大附中校考期中]在①a1=35,②展开式中二项式系数最大值为7m,③+…+=32(m∈N*)条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. 已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且 . (1)求m的值; (2)求a1+a3+a5+a7的值(结果保留指数形式). (注:如果选择多个条件分别解答,按第一解答计分.) 18.已知函数f(n,x)=n(m>0,x>0). (1)当m=2时,求f(7,x)的展开式中二项式系数最大的项; (2)若f(10,x)=a0++…+,且a2=180, ①求ai; ②求ai(0≤i≤10,i∈N)的最大值. C级 学科素养创新练 19.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角: (1)求第20行中从左到右的第4个数; (2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数. 试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明. 参考答案 4.2 二项式系数的性质 1.D 2.D 令x=1,得二项式x2+7的展开式中的各项系数之和为(1+a)7,所以(1+a)7=-1,解 ... ...
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