专题1.12特殊平行四边形 全章基础知识梳理讲解（含解析）2023-2024学年九年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.12 特殊平行四边形（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】菱形 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 边：四条边都相等．即；对边平行．即，． 角：对角相等．即， 对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角．即，平分，平分 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴． 3．菱形的判定 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形． （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形． 4．菱形的面积：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半．即 【知识点2】矩形 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质： 边：对边平行且相等．即且，且 角：四个角都是直角．即 对角线：对角线相等且互相平分，即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴． 3．矩形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形． 【知识点3】正方形 1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质 边：四条边都相等．即；对边平行．即，． 角：四个角都是直角．即 对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）．即， （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴． 3．正方形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形． （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形． （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形． （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 【考点一】特殊平行四边形性质与判定的理解 1．下列命题正确的是( ) A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【举一反三】 【变式1】 2．下列判断错误的是（ ） A．邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等 【变式2】 3．下列命题正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C．对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D．对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 【考点二】特殊平行四边形性质 求线段长★求角度★证明 4．如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点．，对角线平分． (1)求证；四边形为菱形； (2)已知，，求线段BF的长． 【举一反三】 【变式1】 5．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由． (2)当，时，求四边形的面积． 【变式2】 6．如图，在正方形中，点E，F分别在上，，垂足为M． (1)求证：； (2)若点N是的中点，，，求的长． 【考点三】特殊平行四边形的判定 求线段长★求角度★证明 7．如图，在中，M、N分别是边的中点，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【举一反三】 【变式1】 8．如图，中，O为AC的中点，E为上一点，过点A作交延长线于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)当满足什么条件时，四边形是菱形 并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，则四边形的面积为_____． 【变式2】 9．如图，在中，，点D是边的中点，过点A、D分别作与的平行线，相交于点E，连结、． (1)求证：四边形是矩形； (2)当_____，四边 ... ...