2014年全国中考数学试题分类解析汇编(170套75专题）专题68：探究型之最值问题（应用函数知识）

2014年全国中考数学试题分类解析汇编(170套75专题） 专题68：探究型之最值问题（应用函数知识） 江苏泰州鸣午数学工作室 编辑 一、选择题 1. （2014年湖北鄂州3分）已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为【 】 A. B. C. D. 【答案】D． 【考点】1．二次函数的性质；2．曲线上点的坐标与方程的关系；3．数形结合思想的应用． 【分析】由0＜2a＜b，得x0=＜﹣1， 由题意，如答图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1，连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1， 过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），则∠FAA1=∠CBD． ∴Rt△AFA1∽Rt△BCD． ∴，即． 过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD．∴，即． ∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上， ∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c． ∴．化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去）． ∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3． ∴≥3．∴的最小值为3． 故选D． 2．（2014年四川乐山3分）如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为【 】 A．10 B．8 C．6 D．不确定 【答案】B． 【考点】1. 反比例函数与一次函数的交点问题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.一元二次方程根的判别式；5.配方法的应用；6.偶次幂的非负性质. 【分析】设反比例函数的解析式为， ∵点P（﹣1，1）在反比例函数的图象上，∴k=xy=﹣1． ∴反比例函数的解析式为． 设直线l1的解析式为y=mx+n， 当x=0时，y=n，则点B的坐标为（0，n），OB=n． 当y=0时，x=，则点A的坐标为（，0），OA=． ∵tan∠BAO=1，∠AOB=90°，∴OB=OA． ∴n=. ∴m=1． ∵点P（﹣1，1）在一次函数y=mx+n的图象上，∴﹣m+n=1．∴n=2． ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）． ∵点M在第四象限，且在反比例函数的图象上， ∴可设点M的坐标为（a，），其中a＞0． 设直线l2的解析式为y=bx+c， 则ab+c=．∴c=﹣ab． ∴直线l2的解析式为y=bx﹣ab． ∵直线y=bx﹣ab与双曲线只有一个交点， ∴方程bx﹣ab=即bx2﹣（+ab）x+1=0有两个相等的实根． ∴[﹣（+ab）]2﹣4b=（+ab）2﹣4b=（﹣ab）2=0．∴=ab． ∴b=，c=． ∴直线l2的解析式为y=x． ∴当x=0时，y=，则点D的坐标为（0，）； 当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0）． ∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（）=2+． ∵AC⊥BD， ∴. ∵≥0，∴S四边形ABCD≥8． ∴当且仅当即a=1时，S四边形ABCD取到最小值8． 故选B． 3. （2014年四川绵阳3分）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为【 】 A． B． C． D． 【答案】C． 【考点】1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系；3.勾股定理；4.三角形的面积；5.分类思想、方程思想和待定系数法的应用． 【分析】如答图，过点A作AH⊥BC于点H， 根据题意，设这个等腰三角形的腰为2x，底为y， ∵AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分， ∴或. 由得，不符合三角形三边关系，舍去. 由得. ∵AB=AC，∴BH=HC=. 在Rt△ABH中，. ∴. ∵△ABC 边长是正整数，∴x的最小值为2. ∴的最小值为. 故选C． 4. （2014年新疆乌鲁木齐4分）已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为【 】 A. B. C. D. 【答案】D． 【考点】 ... ...