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课件网) 第九章 整式 第5节 因式分解 9.15 十字相乘法 1.理解十字相乘法的概念 2.掌握用十字相乘法分解二次项系数为 1的二次三项式的方法 3.经历十字相乘法中的“凑数”过程,感受特殊到一般的数学“凑数”思想 思考 如何将x2＋3x＋2 、x2－5x＋6 分解因式 这两个多项式都是二次三项式x2＋px＋q，但是都不是完全平方式,不能用完全平方公式来分解因式. 由多项式与多项式相乘的法则,可知 (x＋a)(x＋b)= x2＋(a＋b)x＋ab 反过来可得 x2＋(a＋b)x＋ab= (x＋a)(x＋b) 如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能分解成两个因数a、b的积,而且一次项系数p又恰好是a+b,那么x2+px+q就可以进行如下的因式分解,即 x2＋px＋q = x2＋(a＋b)x＋ab = (x＋a)(x＋b) . 例如, x2＋3x＋2中常数项是2,可以分解为2×1,而且2+1=3，恰好等于一次项系数,所以 x2＋3x＋2 =(x+2)(x+1). 在对多项式x2＋3x＋2分解因式时，也可以借助画十字交叉线来分解. x2分解为x·x,常数项2分解为2×1,把它们用交叉线来表示: x x ＋2 ＋1 按十字交叉相乘,它们积的和就是2x+x=3x.所以 x2＋3x＋2 =(x+2)(x+1). 一般地, x2＋px＋q = x2＋(a＋b)x＋ab = (x＋a)(x＋b) . 可以用十字交叉线表示: x x ＋a ＋b 又如x2－5x＋6用十字相乘法因式分解,常数项6可以分解为以下两个整数的积: 第一组:2×3, 第二组:1×6, 第三组:(-2)×(-3), 第四组:(-1)×(-6). 究竟选择哪一组关键在于判断哪两个整数的和等于一次项系数-5.因为(-2)+(-3)=(-5),所以选择第三组.用十字交叉线表示: x x －2 －3 按十字交叉相乘得(-3x)+(-2x)=-5x,恰好是一次项,于是有x2－5x＋6 =(x-3)(x-2). 在用十字相乘法分解因式时,因为常数项的因数分解有多种情况,所以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组因数分解来进行分解因式. 例题1 分解因式： 所以，解：x2 -7x+12=(x－3)(x－4) 教材第51页 （1）x2 -7x+12； （2）x2-4x-12 ； (1)因为： x x －3 －4 (2)因为： x x －6 ＋2 所以，解：x2-4x-12 =(x－6)(x＋2) 例题1 分解因式： 所以，解：x2 ＋8＋12=(x＋2)(x＋6) 教材第51页 （3）x2 ＋8x+12； （4）x2-11x-12 . (3)因为： x x ＋2 ＋6 (4)因为： x x －12 ＋1 所以，解：x2-11x-12 =(x－12)(x＋1) 例题2 分解因式： 所以，解：x2 ＋5xy－24y2 =(x＋8y)(x－3y) 教材第51页 （1）x2 ＋5xy－24y2； （2）x4-5x2-36 ； (1)因为： x x ＋8y －3y (2)因为： x2 x2 ＋4 －9 所以，解：x4-5x2-36 =(x2＋4x)(x2－9) = (x2＋4x)(x＋3)(x－3) 例题2 分解因式： 所以，解： (2x＋y)2 ＋6(2x＋y)－27 = (2x＋y＋9)(2x＋y－3) 教材第51页 （3）(2x＋y)2 ＋6(2x＋y)－27； (1)因为： 2x＋y 2x＋y ＋9 －3 方法总结：本题要熟练掌握十字相乘的结构特征，根据首项和末项的乘积拆解和加法关系进行求解，首项如果是高次或者多项式，注意采取整体思想进行简化在分解因式. 例题3 分解因式：－x2－6x＋16 解：－x2－6x＋16 ＝ －(x2＋6x－16) 因为： x x ＋8 －2 所以，原式＝－(x2＋6x－16)＝－(x＋8)(x－2) 提示：当二次项系数为-1时，先提出负号再因式分解. 例题4 如果多项式x2－5x＋c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：A、x2－5x＋2不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； B、 x2－5x＋3不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； C、x2－5x＋4= (x－1)(x－4)能用十字相乘法进行因式分解，符合题意； D、x2－5x＋5不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C C 若多项式5x2 +17x-12可因式分解为(x+a)(bx+c)，其中 a、b、c均为整数，求a-c的值. 解：因为5x2 +17x-12 =(x+4)(5x-3)=(x+a)(bx+c)， 所以a=4，b =5， ... ...
