专题2.4用配方法解一元二次方程 基础知识梳理讲解（含解析）2023-2024学年九年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.4 用配方法解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】用直接开平方法解一元二次方程 利用平方根的定义，直接开平方法求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 类型： （1）； （2） （3） 【例1】 1．方程的两个根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】 2．若，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【变式2】 3．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【知识点2】用配方法解一元二次方程 用配方法解一元二次方程的步骤： （1）化：方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1； （2）移：把一元二次方程常数项移到方程的另一边； （3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为 （4）解：开方，解得： 【例2】 4．用配方法解方程： (1)； (2)． 【变式1】 5．用配方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【变式2】 6．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【考点一】配方法求值 【例1】 7．已知，则的最小值是（ ） A．8 B． C． D．9 【变式1】 8．对于任意实数x，多项式的值是（ ） A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数 【变式2】 9．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【考点二】用配方法解决实际问题 【例2】 10．数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题： “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为． 解决问题： (1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到）． (2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？ 【变式】 11．如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草． (1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积_____； (2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值． 【考点三】利用配方法解与三角形的形状有关的问题 【例3】 12．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【变式】 13．阅读材料：若，求、的值． ， ， ， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知一个三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数，并满足：，则_____． （2）已知、、是的三边长，且满足，试判断的形状． （3）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．D 【分析】根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键． 2．A 【分析】用直接开平方法即可进行解答． 【详解】解：， ， 或， ∵，， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步骤． 3．C 【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然 ... ...