专题2.3平方根 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.3 平方根（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】算术平方根 1.定义 一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”， 2.表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a， 3.性质： （1）正数只有一个算术平方根，并且恒为正； （2）0的算术平方根为0，即； （3）负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数． 【知识点2】平方根 4.定义 一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”， 5.表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作（a≧0），读作根号a，“正负根号a”， 6.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根． 【知识点3】开平方 7.定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； 8. （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方． 联系：结果为非负数；中a≧0时，＝ 9.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根． 【考点一】算术平方根 求一个数的算术平方根 【例1】 1．求以下各数的算术平方根：，，，． 【举一反三】 【变式】 2．求以下各数的算术平方根：，，，，． 【考点二】算术平方根 非负性 【例2】 3．已知x，y，z是有理数，且满足，求的值． 【举一反三】 【变式1】 4．若，求m的算术平方根． 【变式2】 5．已知，求的值． 【考点三】算术平方根 整数部分与小数部分 【例3】 6．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 【举一反三】 【变式】 7．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【考点四】算术平方根 规律问题 【例4】 8．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． ．．． ．．． ．．． (1)表格中x＝ ；y＝ ； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 规律： _____ _____ ①已知，则≈ ； ②已知，若，则 ． 【举一反三】 【变式】 9．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … … (1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍； (2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，． 【考点五】算术平方根 实际应用 【例5】 10．如图有两个大小一样的正方形纸片，其边长为cm．小明按如图的方法把每个小正方形沿一条对角线裁成两个三角形，然后再把这四个三角形拼成一个大正方形． (1)这个大正方形的边长为_____cm； (2)小明要在所拼成的大正方形中沿边的方向裁出一个长宽比为且面积为的长方形，问能否成功，试说明理由． 【举一反三】 【变式】 11．如图，用两个边长为的小正方形纸片沿中间对角线剪开，拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____． (2)丽丽同学想用这块大正方形纸片裁剪出一块面积为且长和宽之比为的长方形纸片，她能裁出来吗？请说明理由． 【考点六】平方根 概念的理解 【例6】 12．若某个正数的两个平方根分别为和，求这个正数的值． 【举一反三】 【变式】 13．已知． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【考点七】平方根 求一个数的平方根 【例7】 14．求下列各数的平方根． (1)196； (2)； (3)； (4)． 【举一反三】 【变式】 15．求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【考点八】平方根 求一个代数式的平方根 【例8】 16．已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【举 ... ...