中小学教育资源及组卷应用平台 专题4.11 相似三角形中的一线三等角模型（k字模型） 模块1：知识梳理 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模块2：核心模型与典例 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED. 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. ②一线三直角变异型1：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，∴∴ ∵，∴，∴ ∵∴，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质推出y与x的函数关系式，然后利用函数的性质以及图象确定出△ABC的边长，从而求解面积即可． 【详解】解：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B＝∠ADE＝60°， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD， 又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCF，∴， 设AB＝BC＝a，∵BD＝x，CF＝y， ∴，即． ∵，，对称轴为直线， ∴当时，y取得最大值，此时，由图象可知， ∴a＝6，∴等边三角形ABC的面积为．故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，熟练根据相似三角形的判定与性质推出二次函数解析式，利用二次函数的性质分析是解题关键． 例2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在四边形中，，，，，为边上的动点，当时， ． 【答案】或 【分析】根据相似三角形的性质得，再将相关的数据代入得，再计算即可． 【详解】解：，， ，，，， 解得或．故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． 例3．（2023·浙江·九年级专题练习）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明,求出，再证,可求 ... ...
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