13.3.2.1 等边三角形的性质和判定同步练习 （含答案）

13.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 【知识重点】 知识点1 等边三角形的定义及性质 1. 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 2. 性质 (1)等边三角形的三条边都相等. (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线. (4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. 特别解读 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质： （1）任意两边都可以作为腰. （2）任意一个角都可以作为顶角. （3）任意一边上的“三线合一”. 知识点2 等边三角形的判定 1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形. 2. 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言：如图，在△ ABC 中， ∵ AB＝AC，∠A＝60°或∠B＝60° 或∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形. 证明等边三角形的思维导图： 特别解读 1. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. 2. 等边三角形的判定方法： (1) 若已知三边关系，一般选用定义判定； (2) 若已知三角关系，一般选用判定定理1判定； (3) 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定. 【经典例题】 【例1】如图， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DE⊥AC，EF⊥BC， DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数. 解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数. 【例2】如图，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长. 解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化. 【例3】如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与BE相交于点F. 解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答. (1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数. 【例4】如图，在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF 是等边三角形. 解题秘方：利用等边三角形的判定定理1， 通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF是等边三角形. 【例5】如图， 点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 连接EF，求证： (1)AN＝BM； 解题秘方：要证AN＝BM，只需证△ACN≌△MCB； (2)△CEF是等边三角形. 解题秘方：根据已知条件，易求∠ ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可. 【同步练习】 一、选择题 1．下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是(　　) A．三条边相等 B．三个内角相等 C．有三条对称轴 D．是轴对称图形 2．如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一张四边形纸片，则图中∠α＋∠β的度数是(　　) A. 180° B. 220° C. 240° D. 300° 第2题图　 第4题图 第5题图 3．关于等边三角形的说法：①等边三角形有三条对称轴；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角等于60°的三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 5．【2021·益阳】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于(　　) A．40° B．30° C．20° D．15° 6．【2021·福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于(　　) A．108° B．120° C．126° D．132° ... ...