(课件网) 第 14 章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第 6 课时 全等三角形的判定方法的综合运用 问题1 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？ (1)“SAS”：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； (2)“ASA”：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； (3)“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等； (4)“AAS”：两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等； (5)“HL”：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等. 问题2 全等三角形有什么性质？ (1) 全等三角形对应角相等、对应边相等； (2) 全等三角形的面积、周长相等. 思考：结合全等三角形的性质及全等三角形的判定，你能说说如何证明两条线段(或角)相等？ 例1 如图，已知 BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为_____ (答案不唯一)． 或∠A＝∠D AC＝DC或∠B＝∠E 灵活选用合适的方法证明三角形全等 解析：根据已知可知两个三角形已经具备有一角与一边对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等． 若根据“SAS”判定时，则可以添加 AC＝DC； 若根据“ASA”判定时，则可以添加∠B＝∠E； 若根据“AAS”判定时，则可以添加∠A＝∠D. (1)已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用 AAS 或 ASA 判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用 SAS 判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合 SSA 的情形，不一定能判定三角形全等； (2) 添加条件时，应结合判定图形和五种方法： SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意除直角三角形外不能是 SSA. 方法归纳 例2 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. D C A B E F 1 2 证明：在△ABC 和△CDA 中， AB = CD (已知)， BC = DA (已知)， CA = AC (公共边)， ∴△ABC≌△CDA (SSS). ∴∠1 = ∠2 (全等三角形的对应角相等). 多次运用三角形全等的判定 BC = DA (已知)，∠1 =∠2 (已知)， CF = AE (已知)， ∴ △BCF≌△DAE (SAS). ∴ BF = DE(全等三角形的对应角相等). 在△BCF 和△DAE 中 D C A B E F 1 2 例3 证明：全等三角形对应边上的高相等. 已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′ 的高.求证：AD＝ A′D′ . A B C D A′ B′ C′ D′ 证：∵△ABC≌△A′B′C′ ， ∴ AB = A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD =∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）. ∵ AD⊥BC，A'D'⊥B'C'， ∴∠ADB =∠A'D'B'. 在△ABD 和△A'B'D' 中， ∠ADB =∠A'D'B'（已证）， ∠ABD =∠A'B'D'（已证）， AB = AB（已证）， ∴△ABD≌△A'B'D'(AAS). ∴ AD = A'D'. A B C D A′ B′ C′ D′ 解：相等．理由如下：在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE. 在△ADE 和△ABE 中， AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE(SAS). ∴DE＝BE. 例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为全等三角形一种证明方法使用． 方法总结 C M N A B D 例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN. 在△ABD 与△CBD 中 CA = CB (已知) AD = BD (已知) CD = CD (公共边) ∴△ACD≌△BCD(S ... ...
