专题6.7 实数（知识讲解） 【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数 概念的理解 分类 1．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，5.12，，． (1)有理数集合：{ }； (2)正实数集合：{ }； (3)无理数集合：{ } 举一反三： 【变式】 2．把下列各数填入相应的集合内． 、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个）， (1)有理数集合{ … } (2)无理数集合{ … } (3)负实数集合{ … } 3．把下列各数序号分别填入相应的集合内： ①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1） 类型二、实数 实数性质 实数与数轴 运算 化简 4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 相反数 倒数 绝对值 举一反三： 【变式】 5．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|． 6．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题： (1)线段OA的长度是多少 (要求写出求解过程) (2)这个图形的目的是为了说明什么 (3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法(将下列符合的选项序号填在横线上) A.数形结合 B.代入 C.换元 D.归纳 类型三、实数 估算 无理数的整数（小数）部分 运算 化简 7．[阅读材料] ∵＜＜，即2＜＜3， ∴1＜﹣1＜2 ∴﹣1的整数部分为1 ∴﹣1的小数部分为﹣2 (1)填空：的小数部分是 ． (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（﹣a）3＋（b＋4）2的值． 举一反三： 【变式】 8．比较下列各组数的大小： （1）与6； （2）与； （3）与． 9．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如果5＋的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a＋b的值． 类型四、实数 实数的混合运算 运算 化简 10．计算： （1）； （2）． 举一反三： 【变式】 11．计算题： （1） （2）． 12．计算： (1) (2) 类型五、实数 实数的运算 程序设计 新定义 13．一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的x为81时．输出的y值是_____； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值； (3)若输出的y是，请写出两 ... ...
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